高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第4問（2024京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　4　問

　与えられた自然数\; a_0 \; に対して、自然数からなる数列\; a_0, \; \; a_1, \; \; a_2, \; \cdots \; を次のように定める。

　　　　\displaystyle \; a_{n+1} = \left\{ \genfrac{.}{.}{0pt}{0}{\; \; \; \cfrac{a_n}{2} \quad \quad \quad (a_n が偶数のとき)}{\; \; \; \cfrac{3a_n +1}{2} \quad (a_n が奇数のとき)} \right. \;

次の問いに答えよ。

\; (1) \; \; \; a_0, \; \; a_1, \; \; a_2, \; \; a_3 \; がすべて奇数であるような最小の自然数\; a_0 \; を求めよ。

\; (2) \; \; \; a_0, \; \; a_1, \; \; \cdots, \; \; a_{10} \; がすべて奇数であるような最小の自然数\; a_0 \; を求めよ。

　

解答

第\; n \; 項までの各項がすべて奇数のとき、\displaystyle \; a_{n+1} = \frac{3a_n +1}{2} \; より、\displaystyle \; a_{n+1} +1= \frac{3}{2} (a_n +1) \;

数列\; \{ a_n +1 \} \; は、初項\; a_0 +1 \; 、公比\displaystyle \; \frac{3}{2} \; の等比数列だから、

\displaystyle \; a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^n (a_0 +1) -1 \; \cdots (\ast) \;

　

\; (1) \; \; \; n=3 \; のとき、\; (\ast) \; より、

\displaystyle \; a_3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 (a_0 +1) -1= \frac{27}{8} (a_0 +1) -1 \;

また、\; a_3 \; は奇数だから、\; a_3 =2j-1 \; (j \; は自然数 \; ) \; と表せる。

よって、\displaystyle \; \frac{27}{8} (a_0 +1) -1 =2j-1 \; より、\; 27(a_0 +1)=16j \;

ここで、\; 27 \; と\; 16 \; は互いに素だから、\; j=27k \; (k \; は自然数 \; ) \; とおくことができ、

\; 27(a_0 +1)=16 \times 27k \;

これより、\; a_0 =16k-1 \;

\; a_0 \; が最小の自然数となるのは\; k=1 \; のときで、\; a_0 =15 \; である。

このとき、\; a_1 =23,\; \; a_2 =35,\; \; a_3 =53 \; となり、すべて奇数である。

　

\; (2) \; \; \; n=10 \; のとき、\; (\ast) \; より、

\displaystyle \; a_{10} = \left( \frac{3}{2} \right)^{10} (a_0 +1) -1 \;

また、\; a_{10} \; は奇数だから、\; a_{10} =2l-1 \; (l \; は自然数 \; ) \; と表せる。

よって、\displaystyle \; \left( \frac{3}{2} \right)^{10} (a_0 +1) -1 =2l-1 \; より、\; 3^{10} (a_0 +1)=2^{11} j \;

ここで、\; 3^{10} \; と\; 2^{11} \; は互いに素だから、\; l=3^{10} m \; (m \; は自然数 \; ) \; とおくことができ、

\; 3^{10} (a_0 +1)=2^{11} \times 3^{10} m \;

これより、\; a_0 =2^{11} m-1 \;

\; a_0 \; が最小の自然数となるのは\; m=1 \; のときで、\; a_0 =2^{11} -1=2047 \; である。

このとき、\; a_0 +1=2^{11} \; だから、\; (\ast) \; より、

\displaystyle \; a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^n \times 2^{11} -1=3^n \times 2^{11-n} -1 \;

これは、\; 0 \leqq n \leqq 10 \; のとき、奇数である。

　

　

ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）