高校数学の解き方

問題

　　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　点 $\; \mathrm{O}\;$ を原点とする座標空間内で，一辺の長さが $\; 1\;$ の正三角形 $\; \mathrm{OPQ}\;$ を動かす。また，点 $\; \mathrm{A}(1,\; \; 0,\; \; 0)\;$ に対して， $\angle \mathrm{AOP}\;$ を $\; \theta \;$ とおく。ただし $\; 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \;$ とする。

$(1)\; \;$ 点 $\; \mathrm{Q}\;$ が $\; (0,\; \; 0,\; \; 1)\;$ にあるとき，点 $\; \mathrm{P}\;$ の $\; x\;$ 座標がとりうる値の範囲と， $\theta \;$ がとりうる値の範囲を求めよ。

$(2)\; \;$ 点 $\; \mathrm{Q}\;$ が平面 $\; x=0\;$ 上を動くとき，辺 $\; \mathrm{OP}\;$ が通過しうる範囲を $\; \mathrm{K}\;$ とする。 $\mathrm{K}\;$ の体積を求めよ。

解答

$(1)\; \;$ 点 $\; \mathrm{P}(x,\; \; y,\; \; z)\;$ とすると　 $\mathrm{PQ}^2=\mathrm{OP}^2=\mathrm{OQ}^2\;$ だから

　　 $x^2+y^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2=1\;$ 　より　 $\displaystyle z=\frac{1}{2}$

よって　 $\displaystyle x^2+y^2=\frac{3}{4}$ 　　より　 $\displaystyle y^2=\frac{3}{4}-x^2\geqq 0$

$x\;$ 座標がとりうる値の範囲は　　 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$

つぎに　 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} =\Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| \Bigl|\overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr|\; \cos\theta =\cos\theta$

また　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} =(x,\; \; y,\; \; \frac{1}{2}),\; \; \overrightarrow{\mathrm{OA}} =(1,\; \; 0,\; \; 0)\;$ だから

　　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} =x\times 1+y\times 0+\frac{1}{2}\times 0=x$

よって　　 $x=\cos\theta$ 　だから　 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \cos\theta \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 　より

$\; 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \;$ のとき　 $\; 30^{\circ} \leqq \theta \leqq 150^{\circ} \;$

$(2)\; \;$ 点 $\; \mathrm{Q}\;$ が平面 $\; x=0\;$ 上を動くということは　 $\; \mathrm{OQ}=1\;$ を満たすから　 $x\;$ 軸の周りに回転することである。

このとき $\; \mathrm{OP}\;$ も $\; x\;$ 軸の周りに回転するから　 $\; \mathrm{OP}\;$ が平面 $\; y=0\;$ 上のときを考える。

ある $\; \theta \;$ のとき、点 $\; \mathrm{P}\;$ から $\; x\;$ 軸に垂線 $\; \mathrm{PH}\;$ をひくと　 $\; \mathrm{OP}=1\;$ から

　　　 $\mathrm{OH}=\cos\theta ,\; \; \mathrm{PH}=\sin\theta$

となり，点 $\; \mathrm{P}\;$ の座標は　 $\mathrm{P}(\cos\theta ,\; \; 0,\; \; \sin\theta )$ 　である。

よって　 $x=\cos\theta ,\; \; y=0,\; \; z=\sin\theta$ 　だから

　　　　 $\displaystyle x^2+z^2=1\; \; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

ここで　 $\; 30^{\circ} \leqq \theta \leqq 150^{\circ} \;$ に注意して，平面 $\; y=0\; \; \;$ (x-z座標)上の線分 $\; \mathrm{OP}\;$ の動いた範囲の図をかくと，原点を中心，半径 $\; 1\;$ のおうぎ形になる。（図は省略）