高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの6（p.82，数学Ⅲ，数研）

数学Ⅲ　数研教科書

問題

${\Large 6}.$ 　 $a\gt 0\;$ とする。 $2\;$ 定点 $\; \mathrm{A}(-a,\; \; 0),\; \; \mathrm{B}(a,\; \; 0)\;$ からの距離の積が $\; a^2\;$ に等しい点 $\; \mathrm{P}\;$ の軌跡をレムニスケートという。

$(1)$ 　レムニスケートの方程式は，次の式で与えられることを示せ。

　　　　　 $(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$

$(2)$ 　レムニスケートの極方程式を求め， $a=1\;$ のときの概形をコンピュータで描け。

解答

$(1)$ 　点 $\; \mathrm{P}\;$ の座標を $\; (x,\; \; y)\;$ とする。

$\mathrm{P}\;$ の満たす条件は　 $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=a^2$

すなわち　 $\mathrm{AP}^2\cdot \mathrm{BP}^2=a^4$

$\mathrm{AP}^2=(x+a)^2+y^2,\; \; \mathrm{BP}^2=(x-a)^2+y^2\;$ を代入すると

　　　　　 $\{(x+a)^2+y^2\}\{(x-a)^2+y^2\}=a^4$

展開すると　 $(x+a)^2(x-a)^2+\{(x+a)^2+(x-a)^2\}y^2+y^4=a^4$

計算すると　 $(x^2-a^2)^2+(2x^2+2a^2)y^2+y^4=a^4$

整理すると　 $x^4+2x^2y^2+y^4=2a^2x^2-2a^2y^2$

よって　　　 $(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$

$(2)$ 　

$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\;$ に $\; x=r\cos \theta ,\; y=r\sin \theta \;$ を代入すると

　　　　　 $(r^2\cos ^2\theta +r^2\sin ^2\theta )^2=2a^2(r^2\cos ^2\theta -r^2\sin ^2\theta )$

整理すると　 $\{r^2(\cos ^2\theta +\sin ^2\theta )\}^2=2a^2r^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta )$

変形すると　 $r^4=2a^2r^2\cos 2\theta$

$r\neq 0\;$ とすると　 $r^2=2a^2\cos 2\theta$ 　これは $\; r=0\;$ を満たす。

したがって，レムニスケートの極方程式は　 $r^2=2a^2\cos 2\theta$ 　である。

この極方程式が表す曲線の概形∞は省略。

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