高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの5（p.100，数学Ⅲ，数研）

数学Ⅲ　数研教科書

問題

${\Large 5}.$ 　 $y=\sqrt{x+1}\;$ のグラフと $\; y=x+k\;$ のグラフが $\; 2\;$ つの共有点をもつような定数 $\; k\;$ の値の範囲を求めよ。

解答

$y=\sqrt{x+1}\;$ の定義域は　 $x\geqq -1\;$ ，値域は　 $y\geqq 0\;$ である。

グラフは， $y=\sqrt{x}\;$ のグラフを $\; x\;$ 軸方向に $\; -1\;$ だけ平行移動したものである。

これを $\; y=x+k\;$ と連立して解くと

　　　　　 $\; \sqrt{x+1}=x+k\; \; \cdots (1)$

両辺を $\; 2\;$ 乗して整理すると

　　　　　 $\; x^2+(2k-1)x+k^2-1=0\; \; \cdots (2)$

この $\; 2\;$ 次方程式の判別式を $\; \mathrm{D}\;$ とすると

　　　　　 $\; \mathrm{D}=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5$

$2\;$ つのグラフが接するとき， $\mathrm{D}=0\;$ だから

　　　　　 $-4k+5=0$ 　すなわち　 $\displaystyle k=\frac{5}{4}$

このとき， $(2)\;$ の解は， $\; \displaystyle x=-\frac{3}{4}\;$ で，これは $(1)\;$ を満たす。

また， $y=x+k\;$ のグラフが点 $\; (-1,\; \; 0)\;$ を通るとき， $(1)\;$ に代入して

　　　　　 $0=-1+k$ 　すなわち　 $k=1$

よって，異なる $\; 2\;$ つの共有点をもつのは

　　　　　 $\displaystyle 1\leqq k\lt \frac{5}{4}$

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