高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの6(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 6}. a^2+bc\neq 0,\; \; c\neq 0\; のとき,関数\displaystyle \; f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\; 逆関数は,f(x)\; に等しいことを証明せよ。

解答

\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}\; とする。

ここで,\displaystyle ax+b=\frac{a}{c}(cx-a)+\frac{a^2+bc}{c}\; だから

     \displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}=\frac{a}{c}+\frac{a^2+bc}{c(cx-a)}

a^2+bc\neq 0,\; \; c\neq 0\; より \displaystyle y\neq \frac{a}{c}\; \; \cdots (1)

\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}\; を変形すると,y(cx-a)=ax+b\; より

     (cy-a)x=ay+b

(1)\; より,cy-a\neq 0\; だから

     \displaystyle x=\frac{ay+b}{cy-a}

よって,逆関数は,x\; \; y\; を入れ替えて

     \displaystyle y=\frac{ax+b}{cx-a}

ゆえに,関数\displaystyle \; f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\; 逆関数は,f(x)\; に等しい。  (終)

 

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