高校数学の解き方

問題

　　　　　　　　　　第　 $5$ 　問

　以下の問いに答えよ。

$(1) \; \; n \;$ を $\; 1 \;$ 以上の整数とする。 $x \;$ についての方程式

　　　　　　 $x^{2n-1}=\cos x$

は、ただ一つの実数解 $\; a_n \;$ をもつことを示せ。

$(2) \; \; (1) \;$ で定まる $\; a_n \;$ に対し、 $\cos a_n \gt \cos 1 \;$ を示せ。

$(3) \; \; (1) \;$ で定まる数列 $\; a_1,\; a_2,\; a_3,\; \cdots \cdots , \; a_n,\; \cdots \cdots \;$ に対し、

　　　　　　 $\displaystyle a= \lim_{n \to \infty} a_n ,\; \; \; b= \lim_{n \to \infty} a_n^n ,\; \; \; c= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^n-b}{a_n-a}$

を求めよ。

解答

$(1) \; \; \displaystyle -\frac{\pi}{2} \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt \frac{\pi}{2} \;$ である。また、 $n \;$ が $\; 1 \;$ 以上の整数だから、 $2n-1 \;$ は奇数である。

$x \lt -1 \;$ のとき、 $x^{2n-1} \lt -1 , \; \; \; \cos x \geqq -1 \;$ だから、解はない。

$-1 \leqq x \leqq 0 \;$ のとき、 $x^{2n-1} \leqq 0 , \; \; \; \cos x \gt 0 \;$ だから、解はない。

$0 \lt x \leqq 1 \;$ のとき、 $f(x)=x^{2n-1}-\cos x \;$ とおくと、 $f'(x)=(2n-1)x^{2n-2}+\sin x \gt 0 \;$ となり、 $f(x) \;$ は連続で単調増加である。また、 $f(0)=-1 \lt 0,\; \; f(1)=1-\cos 1 \gt 0 \;$ だから、 $f(x)=0 \;$ は、 $0 \lt x \lt 1 \;$ に実数解をただ一つもつ。

$1 \lt x \;$ のとき、 $x^{2n-1} \gt 1 , \; \; \; \cos x \leqq 1 \;$ だから、解はない。

以上より、与えられた方程式は、ただ一つの実数解をもつ。

$(2) \; \; (1) \;$ より、 $0 \lt a_n \lt 1 \;$ だから、 $1=\cos 0 \gt \cos a_n \gt \cos 1 \gt 0 \;$

ゆえに、 $\cos a_n \gt \cos 1$

$(3) \; \; (2) \;$ より、 $1 \gt \cos a_n \gt \cos 1 \gt 0 \;$ だから、 $1 \gt a_n^{2n-1} \gt \cos 1 \gt 0$

よって、 $\displaystyle 1 \gt a_n \gt (\cos 1)^{\frac{1}{2n-1}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\cos 1)^{\frac{1}{2n-1}} =1 \;$ だから、 $\displaystyle a= \lim_{n \to \infty} a_n =1$

次に、 $a_n^{2n-1} = \cos a_n, \; \; a_n \gt 0 \;$ より、 $a_n^n = \sqrt{a_n \cos a_n}$

よって、 $\displaystyle b= \lim_{n \to \infty} a_n^n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n \cos a_n} =\sqrt{\cos 1}$

次に、 $g(x)= \sqrt{x \cos x} \;$ とおくと、 $\displaystyle g'(x)= \frac{\cos x -x \sin x}{2 \sqrt{x \cos x}} \;$ だから

$\displaystyle c= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^n-b}{a_n-a} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n \cos a_n}-\sqrt{\cos 1}}{a_n-1} =\lim_{n \to \infty} \frac{g(a_n)-g(1)}{a_n-1}$