高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 は定数で,とする。つの関数について,合成関数とが一致するとき,の満たすべき条件を求めよ。 解答 のとき よって ゆえに これがについての恒等式であるから より だから より だから より のとき は任意の実数で成り立つ。 したがって,求める条件は …

演習問題Bの6(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 のとき,関数の逆関数は,に等しいことを証明せよ。 解答 とする。 ここで,だから より を変形すると,より より,だから よって,逆関数は,とを入れ替えて ゆえに,関数の逆関数は,に等しい。 (終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの5(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 のグラフとのグラフがつの共有点をもつような定数の値の範囲を求めよ。 解答 の定義域は ,値域は である。 グラフは,のグラフを軸方向にだけ平行移動したものである。 これをと連立して解くと 両辺を乗して整理すると この次方程式の判別式をとすると…

演習問題Bの6(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題 とする。定点からの距離の積がに等しい点の軌跡をレムニスケートという。 レムニスケートの方程式は,次の式で与えられることを示せ。 レムニスケートの極方程式を求め,のときの概形をコンピュータで描け。 解答 点の座標をとする。 の満たす条件は す…

演習問題Bの5(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題 放物線について,次の問いに答えよ。 傾きがである接線の方程式を求めよ。ただし,とする。 直交するつの接線の交点の軌跡を求めよ。 解答 傾きがである直線の方程式を とする。これをに代入すると 整理すると だから,この次方程式の判別式をとすると …

演習問題Bの14(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 ある工場では製品を製造している。それらを製造するには原料が必要で,を製造するために必要な原料の量と,原料の在庫量は次の表の通りである。また,あたりの利益は,それぞれ万円,万円である。原料の在庫量の範囲で,最大の利益を得るには,をそれぞ…

演習問題Bの13(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 次の問いに答えよ。 直線に関して,点と対称な点の座標を求めよ。 において,点が直線上を動くとき,点の軌跡を求めよ。 解答 直線をとし,点の座標をとする。 直線はに垂直であるから ゆえに また,線分の中点は上にあるから ゆえに を連立してについ…

演習問題Bの12(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 円上の点におけるこの円の接線の方程式を求めよ。 解答 円の中心と接点を結ぶ直線の傾きは よって,求める接線の方程式は,この直線に垂直で,点を通るから ゆえに ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの11(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 中心が第象限にあって,軸,軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって,軸,軸に接することから,求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると,直線が円に接するための条件は,円の中心と直線の距離が円…

演習問題Bの10(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり,直線は,直線はで表されている。このとき,平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で,これらを連立して解くと,その座標は また,を通り,に平行な直線の方程式は となる。はの交点で,これらを連立…

演習問題Bの9(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 直線が点で交わるならば,点は,一直線上にあることを証明せよ。 解答 とする。を連立して解くと,直線の交点は この交点は直線上にあるから より また,点を通る直線の方程式は すなわち より,点は直線上にある。 よって,点は,一直線上にある。 (…

演習問題Bの7(p.75,数学B,数研)

問題 点の定める平面をとし,原点から平面に垂線を下ろす。 と表すとき,からであることを導け。 点の座標を求めよ。 垂線の長さを求めよ。 解答 ここで より よって より また より よって より 点は平面の上にあるから となる実数がある。よって ゆえに こ…

演習問題Bの6(p.75,数学B,数研)

問題 四面体において,辺をに内分する点を,線分をに内分する点を,線分をに内分する点をとし,直線と平面の交点をとする。このとき,を求めよ。 解答 とすると, , ここで,は直線上にあるから, となる実数がある。よって, また,は平面上にあるから, …

演習問題Bの5(p.75,数学B,数研)

問題 点と平面上の点が一直線上にあるとき,点の座標を求めよ。 解答 平面上の点をとする。 で,点が一直線上にあるから,となる実数がある。 よって だから ゆえに これを解いて したがって,点の座標は ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの4(p.75,数学B,数研)

問題 点を頂点とする四面体がある。 辺の中点をとするとき,であることを示せ。 の面積を求めよ。 であることを示せ。 四面体の体積を求めよ。 解答 辺の中点の座標は より よって ゆえに よって,求める面積は よって ゆえに また よって ゆえに より,四面…

演習問題Bの8(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 次方程式が重解をもつとき,定数の値を求めよ。また,他の解を求めよ。 解答 が解であるから よって これを与えられた方程式に代入して が解であることから,左辺はを因数にもつから とすると, もを解にもつから よって より また,をに代入して これ…

演習問題Bの7(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 のとき,次の問いに答えよ。 であることを示せ。 の結果を用いて,の値を求めよ。 解答 から 両辺を乗して 展開して整理すると とする。 をで割ると,商は,余りはだから を代入すると,から ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの6(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 整式をで割ると余りが,で割ると余りがである。をで割ったときの余りを求めよ。 解答 を次式で割ったときの商を,余りをとすると,次の等式が成り立つ。 をで割った余りがだから,このときの商をとすると,次の等式が成り立つ。 ゆえに また,をで割っ…

演習問題Bの13(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 つの放物線のつの共有点の座標を求めよ。 解答 とする。からを消去すると すなわち これを解くと から のとき ,のとき よって,共有点の座標は ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの12(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 次方程式が次のような実数解をもつように,定数の値の範囲を求めよ。 異なるつの正の解 正の解と負の解 解答 とすると よって,のグラフは下に凸の放物線で,軸はである。 この次方程式が異なるつの正の解をもつのは,このグラフが軸の正の部分と異なる…

演習問題Bの11(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 とする。つの方程式について,次の問いに答えよ。 つの方程式がともに実数解をもつように,定数の値の範囲を定めよ。 つの方程式の少なくとも一方が実数解をもつように,定数の値の範囲を定めよ。 解答 つの方程式はでともに次方程式だから,の判別式を…

演習問題Bの10(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 関数について,の範囲での値が常に負となるように,定数の値の範囲を定めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線で,軸がの変域の中央より左にあるから,の変域の右端のでの値が負となれば,の変域での値が常に負となる。よって これを解くと より ブロ…

演習問題Bの9(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 次関数がある。 この次関数の最小値を,の式で表せ。 の値を変化させて,における最小値が最も大きくなるときのの値と,そのときのの値を求めよ。 解答 このグラフは下に凸の放物線だから,で最小となり,最小値は このグラフは上に凸の放物線だから で…

演習問題Bの8(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 は定数とする。関数について,次の問いに答えよ。 最小値を求めよ。 最大値を求めよ。 解答 とする。変形すると よって のグラフは下に凸の放物線で,軸は ,頂点は また の変域 の幅はで一定であり,中央の値は の変域が軸より左にあるとき,すなわち …

演習問題Bの7(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題 関数の最小値がであるとき,定数の値を求めよ。 解答 のとき で最小値となればよい。 より だから より のとき で最小値となればよい。 より これは を満たす。 のとき で最小値となればよい。 より だから これは を満たさない。 より ブログ全体の目…

演習問題Bの4(p.32,数学Ⅲ,数研)

問題 複素数平面上で点を頂点とするの外側に,右の図(図は省略)のように,を辺とする正方形をつ作る。点を結ぶ線分の中点をとするとき,次のことを示せ。 は直角二等辺三角形である。 解答 点は,点を点を中心としてだけ回転して,倍すると得られるから 点…

演習問題Bの3(p.32,数学Ⅲ,数研)

問題 複素数平面上で,を表す点をそれぞれとする。このとき,次の問いに答えよ。 を辺とする正三角形の,頂点を表す複素数を求めよ。 で求めたに対して,を辺とする平行四辺形の,頂点を表す複素数を求めよ。 解答 点が表す複素数をとする。 点は,点を点を…

演習問題Bの7(p.46,数学B,数研)

問題 平面上の異なるつの定点と任意の点に対し,とする。次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。 解答 より だから より よって,点は点を中心とする半径の円を表す。 より より よって のとき のとき はと一致する。 したがって,点は点を通るの垂線…

演習問題Bの6(p.46,数学B,数研)

問題 に対して,点が次の条件を満たしながら動くとき,点の存在範囲を求めよ。 解答 平行四辺形を考える。 とすると となる点を線分上にとり,となる点を線分上にとると となり,点は線分上を動く。 また,がからまで変化すると,点は点から点まで動くから,…

演習問題Bの5(p.46,数学B,数研)

問題 の外心をとし,辺の中点を,の重心をとする。ならばであることを証明せよ。 解答 とする。 したがって ここで,点はの外心だから より さらに,だから,より よって, (証明終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの4(p.46,数学B,数研)

問題 とする。 内積を求めよ。 を最小にする実数の値とその最小値を求めよ。 のに対して,とは垂直であることを確かめよ。 解答 より より ゆえに よって は のとき最小値 をとる。 だから,このとき も最小となる。 したがって のとき最小値 よって ブログ…

数学(理系)の第5問(2017大阪大学入試)

問題 第 問 平面上で放物線と直線で囲まれた図形を,軸のまわりに回転してできる回転体をとおく。回転体に含まれる点のうち,平面上の直線からの距離が以下のもの全体がつくる立体をとおく。 をを満たす実数とする。平面上の点を通り,軸に直交する平面によ…

数学(理系)の第4問(2017大阪大学入試)

問題 第 問 を実数とする。次関数が を満たすとする。 のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標のとりうる値の範囲を求めよ。 放物線の頂点の座標がのとき,放物線と軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 解答 より 点が満たすこの領域のつの頂点の座…

数学(理系)の第3問(2017大阪大学入試)

問題 第 問 を自然数とし,不等式 を考える。次の問いに答えよ。ただし,であること,が無理数であることを用いてよい。 不等式を満たしである自然数に対して であることを示せ。 不等式を満たす自然数の組のうち,であるものをすべて求めよ。 解答 だから …

数学(理系)の第2問(2017大阪大学入試)

問題 第 問 複素数はを満たし,実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば,裏が出ればとし,回投げて出た順にとおく。複素数をと定める。 回とも表が出たとする。の値を求めよ。 のとき,であることを示せ。 である確率を求めよ。 解答…

数学(理系)の第1問(2017大阪大学入試)

問題 第 問 双曲線上の点を考える。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき,の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき,の座標をとを用いてあらわせ。 点におけるの接線と直線の交点をとするとき,点は一直線上にあるこ…

演習問題Bの9(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 解答 より,だから よって ゆえに (終) 両辺の平方の差を考えると ここで より よって で,よりだから (終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの8(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題 のとき,を小さい方から順に並べよ。 解答 より だから に代入して より よって よって,小さい方から順に ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの7(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題 次の等式,不等式を証明せよ。 解答 よって (終) より だから よって (終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの6(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題 のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。 解答 とおくと これらより よって (終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの5(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題 等式が,のどのような値に対しも成り立つように,の値を定めよ。 解答 について整理すると この等式がの恒等式になるのは のときである。これらを連立して解くと ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

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数学(理系)の第6問(2017京都大学入試)

問題 第 問 を自然数とする。個の箱すべてに,の種類のカードがそれぞれ枚ずつ計枚入っている。各々の箱から枚ずつカードを取り出し,取り出した順に左から並べて桁の数を作る。このとき,がで割り切れる確率を求めよ。 解答 桁の数がで割り切れるときの確率…

数学(理系)の第5問(2017京都大学入試)

問題 第 問 とする。の範囲で曲線,直線,直線によって囲まれた部分の面積をとする。このとき,の最小値を求めよ。 (ここで「囲まれた部分」とは,上の曲線または直線のうちつ以上で囲まれた部分を意味するものとする。) 解答 より だから より だから の…

数学(理系)の第4問(2017京都大学入試)

問題 第 問 は鋭角三角形であり,であるとする。またの外接円の半径はであるとする。 の内心をとするとき,を求めよ。 の内接円の半径の取りうる値の範囲を求めよ。 解答 で正弦定理より だから で正弦定理より だから より だから よって また よって は鋭…

数学(理系)の第3問(2017京都大学入試)

問題 第 問 を自然数,を を満たす実数とする。このとき を満たすの組をすべて求めよ。 解答 のとき より (は整数) に代入して より だから となり,は自然数にならない。 のとき だから,整理して とより だから よって は整数だから のときのときのとき …

数学(理系)の第2問(2017京都大学入試)

問題 第 問 四面体を考える。点は,それぞれ辺上にあり,頂点ではないとする。このとき,次の問いに答えよ。 とが平行ならばであることを示せ。 が正八面体の頂点となっているとき,これらの点はの各辺の中点であり,は正四面体であることを示せ。 解答 とす…

数学(理系)の第1問(2017京都大学入試)

問題 第 問 をでない複素数,をを満たす実数とする。 実数はを満たす定数とする。が絶対値の複素数全体を動くとき,平面上の点の軌跡を求めよ。 実数はを満たす定数とする。が偏角の複素数全体を動くとき,平面上の点の軌跡を求めよ。 解答 より とおける。 …

演習問題Bの12(p.64,数学A,数研)

問題 白玉個,赤玉個が入っている袋から,玉を個取り出し,それを袋に戻さないで,続いてもう個取り出す。番目に取り出した玉が赤玉であるとき,最初に取り出した玉も赤玉である確率を求めよ。 解答 番目に取り出した玉が赤玉である事象を,番目に取り出した…

演習問題Bの11(p.64,数学A,数研)

問題 の人が,それぞれ,は枚の硬貨を,は枚の硬貨を持っている。さいころを投げて,奇数の目が出ると,がに枚の硬貨を渡し,偶数の目が出ると,がに枚の硬貨を渡すものとする。さいころを回続けて投げたとき,ともに,同じ枚数の硬貨を持っている確率を求め…