高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第6問(2018東京大学入試)

第 問 座標空間内の点を考える。 とする。点が線分上を動くときに、点を中心とする半径の球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれとする。 平面が双方と共有点をもつようなの範囲を与えよ。さらに、この範囲のに対し、平面との共通部分および、平面との…

数学(理系)の第5問(2018東京大学入試)

第 問 複素数平面上の原点を中心とする半径の円をとする。点は上にあり、点とは異なるとする。点における円の接線に関して、点と対称な点をとする。とおき、と共役な複素数をで表す。 とをについての整式として表し、絶対値の商を求めよ。 のうち実部が以下…

数学(理系)の第4問(2018東京大学入試)

第 問 とし、 とおく。次の条件をみたす点の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。 条件方程式は相異なる実数解をもつ。 条件さらに、方程式の解をとするとである。 解答 (図は省略) 条件より また、条件より で、だから さらに、だから、より した…

数学(理系)の第3問(2018東京大学入試)

第 問 放物線のうちをみたす部分をとする。座標平面上の原点と点を考える。を実数とする。点が上を動き、点が線分上を動くとき、 をみたす点が動く領域の面積をとする。 およびを求めよ。 解答 点の座標を(定数)とすると、点が上を動くから とすると、点の…

数学(理系)の第2問(2018東京大学入試)

第 問 数列を で定める。 とする。を既約分数として表したときの分母と分子を求めよ。 が整数となるをすべて求めよ。 解答 のとき、 ここで、とする。 でのいずれか一方は正の偶数だから、は正の整数でである。 また、をで割ると、商がで余りがだから、との…

数学(理系)の第1問(2018東京大学入試)

第 問 関数 の増減表をつくり、のときの極限を調べよ。 解答 ここで、のとき、だから となるのは、より とおくと、のとき だから ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

数学(理系)の第6問(2018京都大学入試)

問題 第 問 四面体はを満たすとし、辺の中点を辺の中点をとする。 辺と線分は垂直であることを示せ。 線分を含む平面で四面体を切ってつの部分に分ける。このとき、つの部分の体積は等しいことを示せ。 解答 だから で より (ア) だから で より (イ) (ア)(…

数学(理系)の第5問(2018京都大学入試)

問題 第 問 曲線上の点における法線上に、点をとなるようにとる。ただし、の座標はより大きいとする。 点の座標を求めよ。また、を求めよ。 実数はを満たすとし、がからまで動くときに点と点が描く曲線の長さをそれぞれとする。このとき、極限を求めよ。 解…

数学(理系)の第4問(2018京都大学入試)

問題 第 問 コインを回投げて複素数を次のように定める。 回目に表が出ればとし、裏が出ればとする。 のとき、回目に表が出ればとし、裏が出ればとする。ただし、はの共役複素数である。 このとき、となる確率を求めよ。 解答 とおくと だから は のいずれか…

数学(理系)の第3問(2018京都大学入試)

問題 第 問 はを満たす定数とし、四角形に関する次のつの条件を考える。 四角形は半径の円に内接する。 条件とを満たす四角形のなかで、辺の長さの積 が最大となるものについて、の値を求めよ。 解答 とすると、で で正弦定理より よって また、で で正弦定…

数学(理系)の第2問(2018京都大学入試)

問題 第 問 が素数となるような整数をすべて求めよ。 解答 の連続するつの整数のうちつはの倍数である。また、がの倍数なら、もの倍数である。 よって、与式はの倍数だから、それが素数となるのはのときだけである。 ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

数学(理系)の第1問(2018京都大学入試)

問題 第 問 でない実数は次の条件とを満たしながら動くものとする。 つの放物線とは接している。 ただし、つの曲線が接するとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。 との接点の座標をとを用いて表せ。 との接点が動く…

演習問題Bの7(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 は定数で,とする。つの関数について,合成関数とが一致するとき,の満たすべき条件を求めよ。 解答 のとき よって ゆえに これがについての恒等式であるから より だから より だから より のとき は任意の実数で成り立つ。 したがって,求める条件は …

演習問題Bの6(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 のとき,関数の逆関数は,に等しいことを証明せよ。 解答 とする。 ここで,だから より を変形すると,より より,だから よって,逆関数は,とを入れ替えて ゆえに,関数の逆関数は,に等しい。 (終) ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの5(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題 のグラフとのグラフがつの共有点をもつような定数の値の範囲を求めよ。 解答 の定義域は ,値域は である。 グラフは,のグラフを軸方向にだけ平行移動したものである。 これをと連立して解くと 両辺を乗して整理すると この次方程式の判別式をとすると…

演習問題Bの6(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題 とする。定点からの距離の積がに等しい点の軌跡をレムニスケートという。 レムニスケートの方程式は,次の式で与えられることを示せ。 レムニスケートの極方程式を求め,のときの概形をコンピュータで描け。 解答 点の座標をとする。 の満たす条件は す…

演習問題Bの5(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題 放物線について,次の問いに答えよ。 傾きがである接線の方程式を求めよ。ただし,とする。 直交するつの接線の交点の軌跡を求めよ。 解答 傾きがである直線の方程式を とする。これをに代入すると 整理すると だから,この次方程式の判別式をとすると …

演習問題Bの14(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 ある工場では製品を製造している。それらを製造するには原料が必要で,を製造するために必要な原料の量と,原料の在庫量は次の表の通りである。また,あたりの利益は,それぞれ万円,万円である。原料の在庫量の範囲で,最大の利益を得るには,をそれぞ…

演習問題Bの13(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 次の問いに答えよ。 直線に関して,点と対称な点の座標を求めよ。 において,点が直線上を動くとき,点の軌跡を求めよ。 解答 直線をとし,点の座標をとする。 直線はに垂直であるから ゆえに また,線分の中点は上にあるから ゆえに を連立してについ…

演習問題Bの12(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 円上の点におけるこの円の接線の方程式を求めよ。 解答 円の中心と接点を結ぶ直線の傾きは よって,求める接線の方程式は,この直線に垂直で,点を通るから ゆえに ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの11(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 中心が第象限にあって,軸,軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって,軸,軸に接することから,求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると,直線が円に接するための条件は,円の中心と直線の距離が円…

演習問題Bの10(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり,直線は,直線はで表されている。このとき,平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で,これらを連立して解くと,その座標は また,を通り,に平行な直線の方程式は となる。はの交点で,これらを連立…

演習問題Bの9(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題 直線が点で交わるならば,点は,一直線上にあることを証明せよ。 解答 とする。を連立して解くと,直線の交点は この交点は直線上にあるから より また,点を通る直線の方程式は すなわち より,点は直線上にある。 よって,点は,一直線上にある。 (…

演習問題Bの7(p.75,数学B,数研)

問題 点の定める平面をとし,原点から平面に垂線を下ろす。 と表すとき,からであることを導け。 点の座標を求めよ。 垂線の長さを求めよ。 解答 ここで より よって より また より よって より 点は平面の上にあるから となる実数がある。よって ゆえに こ…

演習問題Bの6(p.75,数学B,数研)

問題 四面体において,辺をに内分する点を,線分をに内分する点を,線分をに内分する点をとし,直線と平面の交点をとする。このとき,を求めよ。 解答 とすると, , ここで,は直線上にあるから, となる実数がある。よって, また,は平面上にあるから, …

演習問題Bの5(p.75,数学B,数研)

問題 点と平面上の点が一直線上にあるとき,点の座標を求めよ。 解答 平面上の点をとする。 で,点が一直線上にあるから,となる実数がある。 よって だから ゆえに これを解いて したがって,点の座標は ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの4(p.75,数学B,数研)

問題 点を頂点とする四面体がある。 辺の中点をとするとき,であることを示せ。 の面積を求めよ。 であることを示せ。 四面体の体積を求めよ。 解答 辺の中点の座標は より よって ゆえに よって,求める面積は よって ゆえに また よって ゆえに より,四面…

演習問題Bの8(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 次方程式が重解をもつとき,定数の値を求めよ。また,他の解を求めよ。 解答 が解であるから よって これを与えられた方程式に代入して が解であることから,左辺はを因数にもつから とすると, もを解にもつから よって より また,をに代入して これ…

演習問題Bの7(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 のとき,次の問いに答えよ。 であることを示せ。 の結果を用いて,の値を求めよ。 解答 から 両辺を乗して 展開して整理すると とする。 をで割ると,商は,余りはだから を代入すると,から ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)

演習問題Bの6(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題 整式をで割ると余りが,で割ると余りがである。をで割ったときの余りを求めよ。 解答 を次式で割ったときの商を,余りをとすると,次の等式が成り立つ。 をで割った余りがだから,このときの商をとすると,次の等式が成り立つ。 ゆえに また,をで割っ…