高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第1問(2017東京大学入試)

問題

          第 1 問

 実数\; a,\; b\; に対して

        f(\theta)=\cos3\theta+a\cos2\theta+b\cos\theta

とし,0\lt\theta\lt\pi\; で定義された関数

        \displaystyle g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1}

を考える。

(1)\; \; f(\theta)\; \; g(\theta)\;\; x=\cos\theta\;の整式で表せ。

(2)\; \; g(\theta)\; \; 0\lt\theta\lt\pi\; の範囲で最小値\; 0\;をとるための\; a,\; b\; についての条件を求めよ。また,条件をみたす点\; (a,\; b)\; が描く図形を座標平面上に図示せよ。

解答

(1)\; \; f(0)=1+a+b

  \, f(\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta+a\,(2\cos^2\theta-1)+b\cos\theta

    \; \; =4\cos^3\theta+2a\cos^2\theta+(b-3)\cos\theta-a

    \; \; =4x^3+2ax^2+(b-3)x-a

  \; 0\lt\theta\lt\pi\; のとき -1\lt x\lt1\; だから

  \displaystyle \, \, g(\theta)=\frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-a-(1+a+b)}{x-1}

    \displaystyle \; \; =\frac{(x-1)\{4x^2+2(a+2)x+2a+b+1\}}{x-1}

     \; \; =4x^2+2(a+2)x+2a+b+1 (-1\lt x\lt1)\;

(2) \; \; 4x^2+2(a+2)x+2a+b+1

  \displaystyle =4\left( x+\frac{a+2}{4}\right) ^2+\frac{-a^2+4a+4b}{4}

  \displaystyle [1]\; \; -\frac{a+2}{4}\leqq -1,\; \; 1\leqq -\frac{a+2}{4}\; のとき,すなわち\; a\leqq -6,\; \; 2\leqq a\; のとき

  開区間\; -1\lt x\lt1\; で,単調に増加または減少するから,最小値は存在しない。

  \displaystyle [2]\; \; -1\lt -\frac{a+2}{4}\lt 1\; のとき,すなわち\; -6\lt a\lt 2\; のとき

  \displaystyle \; \frac{-a^2+4a+4b}{4}=0\; となればよい。

  よって \displaystyle b=\frac{1}{4}a^2-a

  [1],\; \;[2]\; より,求める条件は  \displaystyle b=\frac{1}{4}a^2-a\; かつ\; -6\lt a\lt 2\; 

  グラフは 放物線\displaystyle \; y=\frac{1}{4}x^2-x\; \; -6\lt x\lt 2\; の部分で,両端は白丸にする。

  実際の図形は省略。

 

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