高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第1問（2017東京大学入試）

東京大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　実数 $\; a,\; b\;$ に対して

　　　　　　　　 $f(\theta)=\cos3\theta+a\cos2\theta+b\cos\theta$

とし， $0\lt\theta\lt\pi\;$ で定義された関数

　　　　　　　　 $\displaystyle g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1}$

を考える。

$(1)\; \; f(\theta)\;$ と $\; g(\theta)\;$ を $\; x=\cos\theta\;$ の整式で表せ。

$(2)\; \; g(\theta)\;$ が $\; 0\lt\theta\lt\pi\;$ の範囲で最小値 $\; 0\;$ をとるための $\; a,\; b\;$ についての条件を求めよ。また，条件をみたす点 $\; (a,\; b)\;$ が描く図形を座標平面上に図示せよ。

解答

$(1)\; \; f(0)=1+a+b$

　　 $\, f(\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta+a\,(2\cos^2\theta-1)+b\cos\theta$

　　　　 $\; \; =4\cos^3\theta+2a\cos^2\theta+(b-3)\cos\theta-a$

　　　　 $\; \; =4x^3+2ax^2+(b-3)x-a$

　　 $\; 0\lt\theta\lt\pi\;$ のとき　 $-1\lt x\lt1\;$ だから

　　 $\displaystyle \, \, g(\theta)=\frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-a-(1+a+b)}{x-1}$

　　　　 $\displaystyle \; \; =\frac{(x-1)\{4x^2+2(a+2)x+2a+b+1\}}{x-1}$

　　　　 $\; \; =4x^2+2(a+2)x+2a+b+1$ 　 $(-1\lt x\lt1)\;$

$(2) \; \; 4x^2+2(a+2)x+2a+b+1$

　　 $\displaystyle =4\left( x+\frac{a+2}{4}\right) ^2+\frac{-a^2+4a+4b}{4}$

　　 $\displaystyle [1]\; \; -\frac{a+2}{4}\leqq -1,\; \; 1\leqq -\frac{a+2}{4}\;$ のとき，すなわち $\; a\leqq -6,\; \; 2\leqq a\;$ のとき

　　開区間 $\; -1\lt x\lt1\;$ で，単調に増加または減少するから，最小値は存在しない。

　　 $\displaystyle [2]\; \; -1\lt -\frac{a+2}{4}\lt 1\;$ のとき，すなわち $\; -6\lt a\lt 2\;$ のとき

　　 $\displaystyle \; \frac{-a^2+4a+4b}{4}=0\;$ となればよい。

　　よって　 $\displaystyle b=\frac{1}{4}a^2-a$

　　 $[1],\; \;[2]\;$ より，求める条件は　 $\displaystyle b=\frac{1}{4}a^2-a\;$ かつ $\; -6\lt a\lt 2\;$

　　グラフは　放物線 $\displaystyle \; y=\frac{1}{4}x^2-x\;$ の $\; -6\lt x\lt 2\;$ の部分で，両端は白丸にする。

　　実際の図形は省略。

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