数学(理系)の第3問(2017東京大学入試)
問題
第 問
をでない複素数とし,点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線をとする。点が直線上を動くとき,点の軌跡は円から点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。
の乗根のうち,虚部が正であるものをとする。点と点を結ぶ線分上を点が動くときの点の軌跡を求め,複素数平面上に図示せよ。
解答
点は、直線上にあるから,点,から等距離にあって,次の方程式をみたす。
だから
よって
ももでないから,両辺をで割って整理すると
したがって,だから,点の軌跡は,原点を除く
点を中心とする
半径の円である。
の乗根を求めると,より
よって
このことから,点は,点と点を結ぶ線分上を動くから,点と原点を結ぶ線分の垂直二等分線上にあって,の範囲にあることがわかる。
よって,より,点の軌跡は,原点を除く
点を中心とする半径の円
またvだから より
よって,の円のうち,原点を中心とする半径の円の円周上およびその外側の部分となる。図は省略。
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