高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第3問(2017東京大学入試)

問題

          第 3 問

 複素数平面上の原点以外の点\; z\; に対して,\displaystyle \; w=\frac{1}{z}\; とする。

(1)\; \; \; \alpha \; \; 0\; でない複素数とし,点\; \alpha \; と原点\; \mathrm{O}\; を結ぶ線分の垂直二等分線を\; \mathrm{L}\; とする。点\; z\; が直線\; \mathrm{L}\; 上を動くとき,点\; w\; の軌跡は円から\; 1\; 点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。

(2)\; \; \; 1\; \; 3\; 乗根のうち,虚部が正であるものを\; \beta \; とする。点\; \beta \; と点\; \beta ^2\; を結ぶ線分上を点\; z\; が動くときの点\; w\; の軌跡を求め,複素数平面上に図示せよ。

解答

(1)\; \; \; z\; は、直線\; \mathrm{L}\; 上にあるから,2\; \; \mathrm{O}\; \; \alpha \; から等距離にあって,次の方程式をみたす。

   |\; z\; |=|\; z-\alpha \; |\;

\displaystyle \; w=\frac{1}{z}\; だから \displaystyle \; z=\frac{1}{w}\;

よって \displaystyle \; \left|\; \frac{1}{w}\; \right|=\left|\; \frac{1}{w}-\alpha \; \right|\;

\; w\; \; \alpha \; \; 0\; でないから,両辺を\displaystyle \; \left|\; \frac{\alpha}{w}\; \right|\; で割って整理すると

   \displaystyle \; \left|\; w-\frac{1}{\alpha}\; \right|=\left|\; \frac{1}{\alpha} \; \right|\;

したがって,\displaystyle \; w=\frac{1}{z}\neq 0\; だから,点\; w\; の軌跡は,原点を除く

   点\displaystyle \; \frac{1}{\alpha}\; を中心とする

   半径\displaystyle \; \left|\; \frac{1}{\alpha}\; \right|\; の円である。

(2)\; \; \; 1\; \; 3\; 乗根を求めると,x^3=1\; より

   \displaystyle x=1,\; \; \frac{-1\pm \sqrt{3}\; i}{2}\;

よって \displaystyle \beta=\frac{-1+\sqrt{3}\; i}{2},\; \; \beta^2=\frac{-1-\sqrt{3}\; i}{2}

このことから,点\; z\; は,点\; \beta \; と点\; \beta ^2\; を結ぶ線分上を動くから,点\; (-1) \; と原点を結ぶ線分の垂直二等分線上にあって,|\; z\; |\leqq 1\; の範囲にあることがわかる。

よって,(1)\; より,点\; w\; の軌跡は,原点を除く

   点\; (-1)\; を中心とする半径\; 1\; の円\cdots (\mathrm{A})

またv\displaystyle \; z=\frac{1}{w}\; だから \displaystyle \left|\; \frac{1}{w}\; \right|\leqq 1\; より |\; w\; |\geqq 1\;

よって,(\mathrm{A})\; の円のうち,原点を中心とする半径\; 1\; の円の円周上およびその外側の部分となる。図は省略。

 

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