高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2017東京大学入試)

問題

          第 4 問

 \; p=2+\sqrt{5} \; とおき,自然数\; n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots \; \; に対して

      \displaystyle a_n=p^n+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^n\;

と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問\; (1)\; は結論のみを書けばよい。

(1)\; \; a_1,\; a_2\; の値を求めよ。

(2)\; \; n\geqq 2\; とする。積\; a_1a_n\; を,\; a_{n+1}\; \; a_{n-1}\; を用いて表せ。

(3)\; \; a_n\; 自然数であることを示せ。

(4)\; \; a_{n+1}\; \; a_n\; の最大公約数を求めよ。

 解答

(1)\; \; a_1=4,\; \; a_2=18

(2)\; \; a_1a_n

  \displaystyle =\left\{p+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)\right\}\left\{p^n+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^n\right\}

  \displaystyle =p^{n+1}+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^{n+1}-\left\{p^{n-1}+\left(-\frac{\; 1\; }{p}\right)^{n-1}\right\}

  =a_{n+1}-a_{n-1}

(3)\; \; 数学的帰納法を用いて証明する。

  [1]\; \; n=1,\; 2\; のとき (1)\; より a_n\; 自然数である。

  [2]\; \; n=k,\; k+1\; のとき a_k,\; \; a_{k+1}\; 自然数であると仮定する。

    n=k+2\; のとき (2)\; より a_{k+2}=a_1a_{k+1}+a_k

    よって n=k+2\; のときも\; a_n\; 自然数である。

  [1],\; [2]\; より,すべての自然数\; n\; について\; a_n\; 自然数である。

(4)\; \; (2)\; より a_{n+1}=a_1a_n+a_{n-1}

  (3)\; より a_1,\; \; a_n,\; \; a_{n-1}\; 自然数だから a_{n+1}\gt a_n

  よって a_{n+1}\gt a_n\gt a_{n-1}\gt \cdots \gt a_1

  a_{n+1}\; \; a_n\; の最大公約数を,ユークリッドの互除法を用いて求める。

     a_{n+1}=a_1a_n+a_{n-1}

      \; a_n=a_1a_{n-1}+a_{n-2}

        \vdots

      \; \; a_3=a_1a_2+a_1

      \; \; a_2=4a_1+2

      \; \; a_1=2\times2+0

  よって a_{n+1}\; \; a_n\; の最大公約数は\; 2\; である。

 

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