高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第5問(2017東京大学入試)

問題

          第 5 問

 k\; を実数とし,座標平面上で次の\; 2\; つの放物線\; \mathrm{C},\; \mathrm{D}\; の共通接線について考える。

      \mathrm{C}: y=x^2+k

      \mathrm{D}: x=y^2+k

(1)\; \; 直線\; y=ax+b\; が共通接線であるとき,a\; を用いて\; k\; \; b\; を表せ。ただし\; a\neq -1\; とする。

(2)\; \; 傾きが\; 2\; の共通接線が存在するように\; k\; の値を定める。このとき,共通接線が\; 3\; 本存在することを示し,それらの傾きと\; y\; 切片を求めよ。

 解答

(1)\; \;    \mathrm{L}: y=ax+b  とする。

a=0\; のとき,放物線\; \mathrm{C}\; の接線は  y=k

これは放物線\; \mathrm{D}\; \; 1\; 点で交わり,接線ではない。

a\neq 0\; のとき,\; \mathrm{C}\; \; \mathrm{L}\; を連立すると  x^2-ax+k-b=0

2\; つは接するから,この\; x\; 二次方程式の判別式が\; 0\; になる。

      a^2-4k+4b=0  \cdots (\mathrm{A})

\mathrm{D}\; \; \mathrm{L}\; を連立すると  \displaystyle y^2-\frac{y}{a}+k+\frac{b}{a}=0

2\; つは接するから,この\; y\; 二次方程式の判別式が\; 0\; になる。

      \displaystyle \frac{1}{a^2}-4k-\frac{4b}{a}=0  \cdots (\mathrm{B})

(\mathrm{A})+a\times (\mathrm{B})\; より \displaystyle a^2+\frac{1}{a}-4k(a+1)=0

      \displaystyle (a+1)(a-1+\frac{1}{a}-4k)=0  \cdots (\mathrm{E})

a\neq -1\; だから  \displaystyle k=\frac{a}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4a}

(\mathrm{A})\; より  \displaystyle b=-\frac{a^2}{4}+k

       \displaystyle =-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4a}

(2)\; \; a=2のとき (1)\; より \displaystyle k=\frac{3}{8}

      \displaystyle \mathrm{C}: y=x^2+\frac{3}{8}

      \displaystyle \mathrm{D}: x=y^2+\frac{3}{8}

直線\; y=ax+b\; が共通接線であるとき,(1)\; のようにして解くと

\displaystyle k=\frac{3}{8}\; (\mathrm{E})\; に代入して

      \displaystyle (a+1)(a-\frac{5}{2}+\frac{1}{a})=0

これを整理すると  \displaystyle (a+1)(a-2)(a-\frac{1}{2})=0

      \displaystyle a=-1,\; \; 2,\; \; \frac{1}{2}

よって,共通接線は\; 3\; 本存在する。

(\mathrm{A})\; \displaystyle \; k=\frac{3}{8}\; を代入して変形すると

      \displaystyle b=-\frac{a^2}{4}+\frac{3}{8}

だから a=-1\; のとき 傾き\; -1\; y\; 切片\displaystyle \; b=-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{1}{8}

a=2\; のとき 傾き\; 2\; y\; 切片\displaystyle \; b=-\frac{4}{4}+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}

\displaystyle a=\frac{1}{2}\; のとき 傾き\displaystyle \; a=\frac{1}{2}\; y\; 切片\displaystyle \; b=-\frac{1}{16}+\frac{3}{8}=\frac{5}{16}

 

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