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高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第6問(2017東京大学入試)

問題

          第 6 問

 点\; \mathrm{O}\; を原点とする座標空間内で、一辺の長さが\; 1\; の正三角形\; \mathrm{OPQ}\; を動かす。また、点\; \mathrm{A}(1,\; \; 0,\; \; 0)\; に対して、\angle \mathrm{AOP}\; \; \theta \; とおく。ただし\; 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \; とする。

(1)\; \; \; \mathrm{Q}\; \; (0,\; \; 0,\; \; 1)\; にあるとき、点\; \mathrm{P}\; \; x\; 座標がとりうる値の範囲と、\theta \; がとりうる値の範囲を求めよ。

(2)\; \; \; \mathrm{Q}\; が平面\; x=0\; 上を動くとき、辺\; \mathrm{OP}\; が通過しうる範囲を\; \mathrm{K}\; とする。\mathrm{K}\; の体積を求めよ。

 解答

(1)\; \; \; \mathrm{P}(x,\; \; y,\; \; z)\; とすると、\mathrm{PQ}^2=\mathrm{OP}^2=\mathrm{OQ}^2\; だから

  x^2+y^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2=1\;  より \displaystyle z=\frac{1}{2}

よって \displaystyle x^2+y^2=\frac{3}{4}  より \displaystyle y^2=\frac{3}{4}-x^2\geqq 0

x\; 座標がとりうる値の範囲は  \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}

つぎに、\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} =\Bigl| \overrightarrow{\mathrm{OP}} \Bigr| \Bigl|\overrightarrow{\mathrm{OA}} \Bigr|\; \cos\theta =\cos\theta

また、\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} =(x,\; \; y,\; \; \frac{1}{2}),\; \; \overrightarrow{\mathrm{OA}} =(1,\; \; 0,\; \; 0)\; だから

   \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} =x\times 1+y\times 0+\frac{1}{2}\times 0=x

よって  x=\cos\theta  だから \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \cos\theta \leqq \frac{\sqrt{3}}{2} より

\; 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \; のとき \; 30^{\circ} \leqq \theta \leqq 150^{\circ} \;

(2)\; \; \; \mathrm{Q}\; が平面\; x=0\; 上を動くということは、\; \mathrm{OQ}=1\; を満たすから、x\; 軸の周りに回転することである。

このとき\; \mathrm{OP}\; \; x\; 軸の周りに回転するから、\; \mathrm{OP}\; が平面\; y=0\; 上のときを考える。

ある\; \theta \; のとき、点\; \mathrm{P}\; から\; x\; 軸に垂線\; \mathrm{PH}\; をひくと、\; \mathrm{OP}=1\; から

   \mathrm{OH}=\cos\theta ,\; \; \mathrm{PH}=\sin\theta 

となり、点\; \mathrm{P}\; の座標は \mathrm{P}(\cos\theta ,\; \; 0,\; \; \sin\theta ) である。

よって x=\cos\theta ,\; \; y=0,\; \; z=\sin\theta  だから

    \displaystyle x^2+z^2=1\; \; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

ここで、\; 30^{\circ} \leqq \theta \leqq 150^{\circ} \; に注意して、平面\; y=0\; \; \; (x-z座標)上の線分\; \mathrm{OP}\; の動いた範囲の図をかくと、原点を中心、半径\; 1\; のおうぎ形になる。(図は省略)

\mathrm{K}\; はこのおうぎ形を\; x\; 軸の周りに\; 1\; 回転したものである。

おうぎ形の半径(の一方)の式は、\displaystyle z=\frac{x}{\sqrt{3}}\; \; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

したがって、\mathrm{K}\; の体積は、次のようにして求められる。

\displaystyle 2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} z^2dx-2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2dx

\displaystyle =2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(z^2-\frac{x^2}{3}\right)dx

\displaystyle =2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(1-x^2-\frac{x^2}{3}\right)dx

\displaystyle =2\pi \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(1-\frac{4}{3}x^2\right)dx

\displaystyle =2\pi \left[x-\frac{4}{9}x^3\right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 

\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi