高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの10(p.64,数学A,数研)

問題

{\Large 10}.\; \; \mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\; \; 4\; 人の名刺が,1\; 枚ずつ別々の封筒に入れてある。この\; 4\; 人が,それぞれ封筒を\; 1\; つ選ぶとき,次の確率を求めよ。

(1)\; \; 4\; 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率

(2)\; \; 4\; 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率

解答

4\; 人の封筒の選び方は,全部で\; 4\,!\; 通りあり,どの場合も同様に確からしい。\mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\; の名刺を\; a,\,b,\,c,\,d\; とする。

(1)\; \; 4\; 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶのは,\mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\; の順に\; (a,\,b,\,c,\,d)\; \; 4\; 通り。

よって,求める確率は \displaystyle \frac{1}{\;4\,!\;}=\frac{1}{24}

(2)\; \; \mathrm{A}\; \; \mathrm{B}\; の名刺が入った封筒を選び,残り\; 3\; 人とも自分自身の名刺が入った封筒を選ばないのは \; (b,\,a,\,d,\,c),\; (b,\,d,\,a,\,c),\; (b,\,c,\,d,\,a)\; \; 3\; 通り。\mathrm{A}\; \; \mathrm{C,\,D}\; の名刺が入った封筒を選ぶ場合も同様で,求める確率は

   \displaystyle \frac{3\times3}{\;4\,!\;}=\frac{3}{8}

 

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