高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの10（p.64，数学A，数研）

数学A　数研教科書

問題

${\Large 10}.\; \; \mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\;$ の $\; 4\;$ 人の名刺が， $1\;$ 枚ずつ別々の封筒に入れてある。この $\; 4\;$ 人が，それぞれ封筒を $\; 1\;$ つ選ぶとき，次の確率を求めよ。

$(1)\; \; 4\;$ 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率

$(2)\; \; 4\;$ 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率

解答

$4\;$ 人の封筒の選び方は，全部で $\; 4\,!\;$ 通りあり，どの場合も同様に確からしい。 $\mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\;$ の名刺を $\; a,\,b,\,c,\,d\;$ とする。

$(1)\; \; 4\;$ 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶのは， $\mathrm{A,\,B,\,C,\,D}\;$ の順に $\; (a,\,b,\,c,\,d)\;$ の $\; 1\;$ 通り。

よって，求める確率は　 $\displaystyle \frac{1}{\;4\,!\;}=\frac{1}{24}$

$(2)\; \; \mathrm{A}\;$ が $\; \mathrm{B}\;$ の名刺が入った封筒を選び，残り $\; 3\;$ 人とも自分自身の名刺が入った封筒を選ばないのは　 $\; (b,\,a,\,d,\,c),\; (b,\,d,\,a,\,c),\; (b,\,c,\,d,\,a)\;$ の $\; 3\;$ 通り。 $\mathrm{A}\;$ が $\; \mathrm{C,\,D}\;$ の名刺が入った封筒を選ぶ場合も同様で，求める確率は

　　　 $\displaystyle \frac{3\times3}{\;4\,!\;}=\frac{3}{8}$

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