高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第1問(2017京都大学入試)

問題

          第 1 問

 w\; \; 0\; でない複素数x,\, y\; \displaystyle \; w+\frac{1}{w}=x+y\, i\; を満たす実数とする。

(1) 実数\; R\; \; R\gt 1\; を満たす定数とする。w\; が絶対値\; R\; 複素数全体を動くとき,xy\; 平面上の点\; (x,\, y)\; の軌跡を求めよ。

(2) 実数\; \alpha \; \displaystyle \; 0\lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\; を満たす定数とする。w\; 偏角\; \alpha \; 複素数全体を動くとき,xy\; 平面上の点\; (x,\, y)\; の軌跡を求めよ。

解答

w \neq 0\; より w =r(cos \, \theta +i\, sin \, \theta )\; \; \; (r\gt 0,\; \; 0 \leqq \theta \lt 2 \pi )\; とおける。

\displaystyle \frac{1}{w} = \frac{1}{r} (cos \, \theta -i\, sin \, \theta )\; だから

\displaystyle x+y\, i=w +\frac{1}{w}

   \displaystyle \; \; =r(cos \, \theta +i\, sin \, \theta )+\frac{1}{r} (cos \, \theta -i\, sin \, \theta )

   \displaystyle \; \; =\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \, \theta +i\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \theta

よって \displaystyle x=\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \, \theta ,\; \; y=\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \theta

(1)\; \; r=R\; とおいて R\gt 1\; より

\displaystyle x=\Bigl(R+\frac{1}{R} \Bigr)cos \, \theta  より \displaystyle cos \, \theta =\frac{x}{R+\cfrac{1}{R}}

\displaystyle y=\Bigl(R-\frac{1}{R} \Bigr)sin \, \theta  より \displaystyle sin \, \theta =\frac{y}{R-\cfrac{1}{R}}

cos^2 \theta +sin^2 \theta =1\; に代入して,求める軌跡は

楕円 \displaystyle \frac{x^2}{\bigl(R+\cfrac{1}{R}\bigr)^2} +\frac{y^2}{\bigl(R-\cfrac{1}{R}\bigr)^2}=1

(2)\; \; \theta =\alpha \; とおいて \displaystyle 0\lt \alpha \lt \frac{\pi }{2}\; より cos \, \alpha \gt 0\, ,\; \; sin \,\alpha \gt 0\; だから

\displaystyle x=\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \,\alpha  より \displaystyle r+\frac{1}{r} =\frac{x}{cos \, \alpha }\;  ,\; \; \; x\gt 0

\displaystyle y=\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \alpha  より \displaystyle r-\frac{1}{r} =\frac{y}{sin \, \alpha }

だから \displaystyle r=\frac{x}{2\, cos \, \alpha }+\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\; ,\; \; \; \frac{1}{r} =\frac{x}{2\, cos \, \alpha }-\frac{y}{2\, sin \, \alpha }

\displaystyle \Bigl(\frac{x}{2\, cos \, \alpha }+\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\Bigr) \Bigl(\frac{x}{2\, cos \, \alpha }-\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\Bigr)=r\times \frac{1}{r} =1

ゆえに求める軌跡は

双曲線 \displaystyle \frac{x^2}{(2\, cos \, \alpha )^2}-\frac{y^2}{(2\, sin \, \alpha )^2}=1 (x \gt 0)

 

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