数学(理系)の第1問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $1$ 　問

　 $w\;$ を $\; 0\;$ でない複素数， $x,\, y\;$ を $\displaystyle \; w+\frac{1}{w}=x+y\, i\;$ を満たす実数とする。

$(1)$ 　実数 $\; R\;$ は $\; R\gt 1\;$ を満たす定数とする。 $w\;$ が絶対値 $\; R\;$ の複素数全体を動くとき， $xy\;$ 平面上の点 $\; (x,\, y)\;$ の軌跡を求めよ。

$(2)$ 　実数 $\; \alpha \;$ は $\displaystyle \; 0\lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\;$ を満たす定数とする。 $w\;$ が偏角 $\; \alpha \;$ の複素数全体を動くとき， $xy\;$ 平面上の点 $\; (x,\, y)\;$ の軌跡を求めよ。

解答

$w \neq 0\;$ より　 $w =r(cos \, \theta +i\, sin \, \theta )\; \; \; (r\gt 0,\; \; 0 \leqq \theta \lt 2 \pi )\;$ とおける。

$\displaystyle \frac{1}{w} = \frac{1}{r} (cos \, \theta -i\, sin \, \theta )\;$ だから

$\displaystyle x+y\, i=w +\frac{1}{w}$

　　　 $\displaystyle \; \; =r(cos \, \theta +i\, sin \, \theta )+\frac{1}{r} (cos \, \theta -i\, sin \, \theta )$

　　　 $\displaystyle \; \; =\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \, \theta +i\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \theta$

よって　 $\displaystyle x=\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \, \theta ,\; \; y=\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \theta$

$(1)\; \; r=R\;$ とおいて　 $R\gt 1\;$ より

$\displaystyle x=\Bigl(R+\frac{1}{R} \Bigr)cos \, \theta$ 　より　 $\displaystyle cos \, \theta =\frac{x}{R+\cfrac{1}{R}}$

$\displaystyle y=\Bigl(R-\frac{1}{R} \Bigr)sin \, \theta$ 　より　 $\displaystyle sin \, \theta =\frac{y}{R-\cfrac{1}{R}}$

$cos^2 \theta +sin^2 \theta =1\;$ に代入して，求める軌跡は

楕円　 $\displaystyle \frac{x^2}{\bigl(R+\cfrac{1}{R}\bigr)^2} +\frac{y^2}{\bigl(R-\cfrac{1}{R}\bigr)^2}=1$

$(2)\; \; \theta =\alpha \;$ とおいて　 $\displaystyle 0\lt \alpha \lt \frac{\pi }{2}\;$ より　 $cos \, \alpha \gt 0\, ,\; \; sin \,\alpha \gt 0\;$ だから

$\displaystyle x=\Bigl(r+\frac{1}{r} \Bigr)cos \,\alpha$ 　より　 $\displaystyle r+\frac{1}{r} =\frac{x}{cos \, \alpha }\; ,\; \; \; x\gt 0$

$\displaystyle y=\Bigl(r-\frac{1}{r} \Bigr)sin \, \alpha$ 　より　 $\displaystyle r-\frac{1}{r} =\frac{y}{sin \, \alpha }$

だから　 $\displaystyle r=\frac{x}{2\, cos \, \alpha }+\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\; ,\; \; \; \frac{1}{r} =\frac{x}{2\, cos \, \alpha }-\frac{y}{2\, sin \, \alpha }$

$\displaystyle \Bigl(\frac{x}{2\, cos \, \alpha }+\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\Bigr) \Bigl(\frac{x}{2\, cos \, \alpha }-\frac{y}{2\, sin \, \alpha }\Bigr)=r\times \frac{1}{r} =1$