高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第2問(2017京都大学入試)

問題

          第 2 問

 四面体\; \mathrm{OABC}\; を考える。点\; \mathrm{D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I}\; は,それぞれ辺\; \mathrm{OA,\, AB,\, BC,\, CO,\, OB,\, AC}\; 上にあり,頂点ではないとする。このとき,次の問いに答えよ。

(1)\; \; \overrightarrow{ \mathrm{DG} }\; \; \overrightarrow{ \mathrm{EF} }\; が平行ならば\; \mathrm{AE:EB=CF:FB}\; であることを示せ。

(2)\; \; \mathrm{D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I}\; が正八面体の頂点となっているとき,これらの点は\; \mathrm{OABC}\; の各辺の中点であり,\mathrm{OABC}\; は正四面体であることを示せ。

解答

(1)\; \; \mathrm{AE:EB}=s:(1-s),\; \; \mathrm{CF:FB}=t:(1-t),\; \; \mathrm{OD:DA}=u:(1-u),\; \; \mathrm{OG:GC}=v:(1-v)\; とすると

\overrightarrow{\mathrm{OE}} =(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}} +s \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OF}} =(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} +t \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OD}} =u \overrightarrow{\mathrm{OA}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OG}} =v \overrightarrow{\mathrm{OC}}  と表せる。

\overrightarrow{\mathrm{DG}} =\overrightarrow{\mathrm{OG}} -\overrightarrow{\mathrm{OD}} =v \overrightarrow{\mathrm{OC}} -u \overrightarrow{\mathrm{OA}}  \cdots(\mathrm{i})

\overrightarrow{\mathrm{EF}} =\overrightarrow{\mathrm{OF}} -\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} +t \overrightarrow{\mathrm{OB}} -(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}} -s \overrightarrow{\mathrm{OB}}  \cdots (\mathrm{ii})

\overrightarrow{\mathrm{DG}}\; \; \overrightarrow{\mathrm{EF}} \; が平行のとき k\neq 0\; で \overrightarrow{\mathrm{DG}} =k \overrightarrow{\mathrm{EF}}

これに\; (\mathrm{i})\; \; (\mathrm{ii})\; を代入して整理すると

\{ k(1-s)-u\} \overrightarrow{\mathrm{OA}} +k(s-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}} +\{ v-k(1-t)\}\overrightarrow{\mathrm{OC}} =\overrightarrow{\, 0\, } 

\overrightarrow{\mathrm{OA}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}  は一次独立だから k(s-t)=0

k\neq 0 より s=t\; だから \mathrm{AE:EB=CF:FB}

(2) (1)\; と同様にして,正八面体では \overrightarrow{\mathrm{HD}}\; \; \overrightarrow{\mathrm{FI}}\; が平行だから  \mathrm{FB:CF=AI:IC}

\overrightarrow{\mathrm{HG}}\; \; \overrightarrow{\mathrm{EI}}\; が平行だから  \mathrm{AI:IC=AE:EB}

これらより \mathrm{AE:EB=FB:CF}

これと\; (1)\; より \mathrm{CF=FB} だから \mathrm{F}\; \; \mathrm{BC}\; の中点である。

正八面体の対称性により,\mathrm{D,\; E,\; F,\; G,\; H,\; I}\; \; \mathrm{OABC}\; の各辺の中点である。

また,\bigtriangleup \mathrm{OAB}\; で点\; \mathrm{D,\; H}\; はそれぞれ辺\; \mathrm{OA,\; OB}\; の中点だから,中点連結定理より \displaystyle \mathrm{DH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}\;

同様にして \displaystyle \mathrm{HG}=\frac{1}{2} \mathrm{BC},\; \; \mathrm{GD}=\frac{1}{2} \mathrm{CA},\; \; \mathrm{HE}=\frac{1}{2} \mathrm{OA},\; \; \mathrm{GF}=\frac{1}{2} \mathrm{OB},\; \; \mathrm{DI}=\frac{1}{2} \mathrm{OC}\;

正八面体では \mathrm{DH=HG=GD=HE=GF=DI}\; だから \mathrm{AB=BC=CA=OA=OB=OC}\;

よって,\mathrm{OABC}\; は正四面体である。

 

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