数学(理系)の第2問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　四面体 $\; \mathrm{OABC}\;$ を考える。点 $\; \mathrm{D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I}\;$ は，それぞれ辺 $\; \mathrm{OA,\, AB,\, BC,\, CO,\, OB,\, AC}\;$ 上にあり，頂点ではないとする。このとき，次の問いに答えよ。

$(1)\; \; \overrightarrow{ \mathrm{DG} }\;$ と $\; \overrightarrow{ \mathrm{EF} }\;$ が平行ならば $\; \mathrm{AE:EB=CF:FB}\;$ であることを示せ。

$(2)\; \; \mathrm{D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I}\;$ が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は $\; \mathrm{OABC}\;$ の各辺の中点であり， $\mathrm{OABC}\;$ は正四面体であることを示せ。

解答

$(1)\; \; \mathrm{AE:EB}=s:(1-s),\; \; \mathrm{CF:FB}=t:(1-t),\; \; \mathrm{OD:DA}=u:(1-u),\; \; \mathrm{OG:GC}=v:(1-v)\;$ とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OE}} =(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}} +s \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OF}} =(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} +t \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OD}} =u \overrightarrow{\mathrm{OA}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OG}} =v \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 　と表せる。

$\overrightarrow{\mathrm{DG}} =\overrightarrow{\mathrm{OG}} -\overrightarrow{\mathrm{OD}} =v \overrightarrow{\mathrm{OC}} -u \overrightarrow{\mathrm{OA}} 　\cdots(\mathrm{i})$

$\overrightarrow{\mathrm{EF}} =\overrightarrow{\mathrm{OF}} -\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} +t \overrightarrow{\mathrm{OB}} -(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}} -s \overrightarrow{\mathrm{OB}} 　\cdots (\mathrm{ii})$

$\overrightarrow{\mathrm{DG}}\;$ と $\; \overrightarrow{\mathrm{EF}} \;$ が平行のとき　 $k\neq 0\;$ で　 $\overrightarrow{\mathrm{DG}} =k \overrightarrow{\mathrm{EF}}$

これに $\; (\mathrm{i})\;$ と $\; (\mathrm{ii})\;$ を代入して整理すると

$\{ k(1-s)-u\} \overrightarrow{\mathrm{OA}} +k(s-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}} +\{ v-k(1-t)\}\overrightarrow{\mathrm{OC}} =\overrightarrow{\, 0\, }$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}} ,\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 　は一次独立だから　 $k(s-t)=0$

$k\neq 0$ 　より　 $s=t\;$ だから　 $\mathrm{AE:EB=CF:FB}$

$(2)　(1)\;$ と同様にして，正八面体では　 $\overrightarrow{\mathrm{HD}}\;$ と $\; \overrightarrow{\mathrm{FI}}\;$ が平行だから　　 $\mathrm{FB:CF=AI:IC}$

$\overrightarrow{\mathrm{HG}}\;$ と $\; \overrightarrow{\mathrm{EI}}\;$ が平行だから　　 $\mathrm{AI:IC=AE:EB}$

これらより　 $\mathrm{AE:EB=FB:CF}$

これと $\; (1)\;$ より　 $\mathrm{CF=FB}$ 　だから　 $\mathrm{F}\;$ は $\; \mathrm{BC}\;$ の中点である。

正八面体の対称性により， $\mathrm{D,\; E,\; F,\; G,\; H,\; I}\;$ は $\; \mathrm{OABC}\;$ の各辺の中点である。

また， $\bigtriangleup \mathrm{OAB}\;$ で点 $\; \mathrm{D,\; H}\;$ はそれぞれ辺 $\; \mathrm{OA,\; OB}\;$ の中点だから，中点連結定理より　 $\displaystyle \mathrm{DH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}\;$

同様にして　 $\displaystyle \mathrm{HG}=\frac{1}{2} \mathrm{BC},\; \; \mathrm{GD}=\frac{1}{2} \mathrm{CA},\; \; \mathrm{HE}=\frac{1}{2} \mathrm{OA},\; \; \mathrm{GF}=\frac{1}{2} \mathrm{OB},\; \; \mathrm{DI}=\frac{1}{2} \mathrm{OC}\;$