高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2017京都大学入試)

問題

          第 4 問

 \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; は鋭角三角形であり,\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi }{3 }\; であるとする。また\; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; の外接円の半径は\; 1\; であるとする。

(1)\; \; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; の内心を\; \mathrm{P}\; とするとき, \angle \mathrm{BPC}\; を求めよ。

(2)\; \; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; の内接円の半径\; r\; の取りうる値の範囲を求めよ。

解答

(1) \angle \mathrm{BPC}=\pi -(\angle \mathrm{PBC}+\angle \mathrm{PCB})

      \displaystyle =\pi -\Bigl(\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB}\Bigr)

      \displaystyle =\pi -\frac{1}{2} (\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB})=\pi -\frac{1}{2} (\pi -\angle \mathrm{BAC})

      \displaystyle =\pi -\frac{1}{2} \Bigl(\pi -\frac{\pi }{3} \Bigr)=\frac{2}{3} \pi

(2) \displaystyle \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; で正弦定理より \displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \cfrac{\pi }{3} }=2\times 1

だから \displaystyle \mathrm{BE}=2\sin \frac{\pi }{3} =\sqrt{3}

\bigtriangleup \mathrm{PBC}\; で正弦定理より \displaystyle \frac{\sqrt {3}}{\sin\, \cfrac{2\pi }{3} }=\frac{\mathrm{PC}}{\sin \cfrac{\mathrm{B}}{2} }=\frac{\mathrm{PB}}{\sin \cfrac{\mathrm{C}}{2} }

だから \displaystyle \mathrm{PB}=2\sin \frac{\mathrm{B}}{2} ,\; \; \mathrm{PC}=2\sin \frac{\mathrm{C}}{2}

\displaystyle \mathrm{B+C}=\pi -\frac{\pi }{3} =\frac{2}{3} \pi \; より \displaystyle \mathrm{C}=\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\; だから

\displaystyle \mathrm{B-C=B}-\Bigl(\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\Bigr)=2B-\frac{2}{3} \pi

よって \displaystyle \bigtriangleup \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{PB}\times \mathrm{PC}\times \sin \frac{2}{3} \pi

        \displaystyle =\sqrt {3} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}

        \displaystyle =\sqrt {3} \Bigl\{ -\frac{1}{2} \Bigl(\cos \frac{\mathrm{B+C}}{2} -\cos \frac{\mathrm{B-C}}{2} \Bigr)\Bigr\}

        \displaystyle =-\frac{\sqrt {3} }{2} \Bigl\{ \cos \frac{\pi }{3} -\cos \Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)\Bigr\}

        \displaystyle =\frac{\sqrt {3} }{2} \Bigl\{ \cos \Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)-\frac{1}{2} \Bigr\}

また \displaystyle \bigtriangleup \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{BC}\times r=\frac{\sqrt {3} }{2} r

よって \displaystyle r=\cos\Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)-\frac{1}{2}

\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; は鋭角三角形だから \displaystyle \mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2} ,\; \; \mathrm{C}\lt \frac{\pi }{2} \;

\displaystyle \mathrm{C}=\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2}  より \displaystyle \frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}

よって \displaystyle \frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2} \; だから \displaystyle -\frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \lt \frac{\pi }{6}

\displaystyle \frac{\sqrt {3} }{2} \lt \cos\Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr) \leqq 1 \; だから

\displaystyle \frac{\sqrt {3} -1}{2} \lt \cos\Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr) -\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{2}

ゆえに \displaystyle \frac{\sqrt {3} -1}{2} \lt r \leqq \frac{1}{2}

 

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