数学(理系)の第4問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $\bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ は鋭角三角形であり， $\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi }{3 }\;$ であるとする。また $\; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ の外接円の半径は $\; 1\;$ であるとする。

$(1)\; \; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ の内心を $\; \mathrm{P}\;$ とするとき， $\angle \mathrm{BPC}\;$ を求めよ。

$(2)\; \; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ の内接円の半径 $\; r\;$ の取りうる値の範囲を求めよ。

解答

$(1)　\angle \mathrm{BPC}=\pi -(\angle \mathrm{PBC}+\angle \mathrm{PCB})$

　　　　　　 $\displaystyle =\pi -\Bigl(\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB}\Bigr)$

　　　　　　 $\displaystyle =\pi -\frac{1}{2} (\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB})=\pi -\frac{1}{2} (\pi -\angle \mathrm{BAC})$

　　　　　　 $\displaystyle =\pi -\frac{1}{2} \Bigl(\pi -\frac{\pi }{3} \Bigr)=\frac{2}{3} \pi$

$(2)　\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ で正弦定理より　 $\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \cfrac{\pi }{3} }=2\times 1$

だから　 $\displaystyle \mathrm{BE}=2\sin \frac{\pi }{3} =\sqrt{3}$

$\bigtriangleup \mathrm{PBC}\;$ で正弦定理より　 $\displaystyle \frac{\sqrt {3}}{\sin\, \cfrac{2\pi }{3} }=\frac{\mathrm{PC}}{\sin \cfrac{\mathrm{B}}{2} }=\frac{\mathrm{PB}}{\sin \cfrac{\mathrm{C}}{2} }$

だから　 $\displaystyle \mathrm{PB}=2\sin \frac{\mathrm{B}}{2} ,\; \; \mathrm{PC}=2\sin \frac{\mathrm{C}}{2}$

$\displaystyle \mathrm{B+C}=\pi -\frac{\pi }{3} =\frac{2}{3} \pi \;$ より　 $\displaystyle \mathrm{C}=\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\;$ だから

$\displaystyle \mathrm{B-C=B}-\Bigl(\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\Bigr)=2B-\frac{2}{3} \pi$

よって　 $\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{PB}\times \mathrm{PC}\times \sin \frac{2}{3} \pi$

　　　　　　　　 $\displaystyle =\sqrt {3} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}$

　　　　　　　　 $\displaystyle =\sqrt {3} \Bigl\{ -\frac{1}{2} \Bigl(\cos \frac{\mathrm{B+C}}{2} -\cos \frac{\mathrm{B-C}}{2} \Bigr)\Bigr\}$

　　　　　　　　 $\displaystyle =-\frac{\sqrt {3} }{2} \Bigl\{ \cos \frac{\pi }{3} -\cos \Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)\Bigr\}$

　　　　　　　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt {3} }{2} \Bigl\{ \cos \Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)-\frac{1}{2} \Bigr\}$

また　 $\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{BC}\times r=\frac{\sqrt {3} }{2} r$

よって　 $\displaystyle r=\cos\Bigl(\mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \Bigr)-\frac{1}{2}$

$\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ は鋭角三角形だから　 $\displaystyle \mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2} ,\; \; \mathrm{C}\lt \frac{\pi }{2} \;$ で

$\displaystyle \mathrm{C}=\frac{2}{3} \pi -\mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2}$ 　より　 $\displaystyle \frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}$

よって　 $\displaystyle \frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}\lt \frac{\pi }{2} \;$ だから　 $\displaystyle -\frac{\pi }{6} \lt \mathrm{B}-\frac{\pi }{3} \lt \frac{\pi }{6}$