高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第6問(2017京都大学入試)

 

問題

         第 6 問

 n\; 自然数とする。n\; 個の箱すべてに,\fbox{1 }\,,\;\fbox{2 }\,,\; \fbox{3 }\,,\;\fbox{4 }\,,\;\fbox{5 } \; \; 5\; 種類のカードがそれぞれ\; 1\; 枚ずつ計\; 5\; 枚入っている。各々の箱から\; 1\; 枚ずつカードを取り出し,取り出した順に左から並べて\; n\; 桁の数\; X\; を作る。このとき,X\; \; 3\; で割り切れる確率を求めよ。

解答

n\; 桁の数\; X\; \; 3\; で割り切れるときの確率を\; \mathrm{P}(n)\; 3\; で割ると\; 1\; 余る確率を\; \mathrm{Q}(n)\; 3\; で割ると\; 2\; 余る確率を\; \mathrm{R}(n)\; とすると

   \mathrm{P}(n)+\mathrm{Q}(n)+\mathrm{R}(n)=1 \cdots(\mathrm{A})

(n+1)\; 桁の数が\; 3\; で割り切れるのは次の\; 3\; 通りある。

(\mathrm{i})\,\,\,X\; \; 3\; で割り切れて\; (n+1)\; 個目の箱から\; 3\; 出る。

(\mathrm{ii})\,\,\,X\; \; 3\; で割ると\; 1\; 余り\; (n+1)\; 個目の箱から\; 2\; \; 5\; が出る。

(\mathrm{iii})\,\,\,X\; \; 3\; で割ると\; 2\; 余り\; (n+1)\; 個目の箱から\; 1\; \; 4\; が出る。

よって (n+1)\; 桁の数が\; 3\; で割り切れる確率\; \mathrm{P}(n+1)\;

    \displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \mathrm{Q}(n)+\frac{2}{5} \mathrm{R}(n)

よって \displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \bigl\{ \mathrm{Q}(n)+\mathrm{R}(n)\bigr\}

これに\; (\mathrm{A})\; を代入して

   \; \displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \bigl\{ 1-\mathrm{P}(n)\bigr\}

       \displaystyle \; \, =-\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5}

これより \displaystyle \mathrm{P}(n+1)-\frac{1}{3} =-\frac{1}{5} \Bigl\{ \mathrm{P}(n)-\frac{1}{3} \Bigr\}

数列\; \displaystyle \Bigl\{ \mathrm{P}(n)-\frac{1}{3} \Bigr\} \; は,初項\; \displaystyle \mathrm{P}(1)-\frac{1}{3} =-\frac{2}{15}  公比\; \displaystyle -\frac{1}{5} \; 等比数列だから

   \displaystyle \mathrm{P}(n)-\frac{1}{3} =-\frac{2}{15} \times \Bigl(-\frac{1}{5} \Bigr)^{n-1}

ゆえに  \displaystyle \mathrm{P}(n)=\frac{1}{3} +\frac{2}{3} \times \Bigl(-\frac{1}{5} \Bigr)^n

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)