数学(理系)の第6問（2017京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　第　 $6$ 　問

　 $n\;$ を自然数とする。 $n\;$ 個の箱すべてに， $\fbox{1 }\,,\;\fbox{2 }\,,\; \fbox{3 }\,,\;\fbox{4 }\,,\;\fbox{5 } \;$ の $\; 5\;$ 種類のカードがそれぞれ $\; 1\;$ 枚ずつ計 $\; 5\;$ 枚入っている。各々の箱から $\; 1\;$ 枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて $\; n\;$ 桁の数 $\; X\;$ を作る。このとき， $X\;$ が $\; 3\;$ で割り切れる確率を求めよ。

解答

$n\;$ 桁の数 $\; X\;$ が $\; 3\;$ で割り切れるときの確率を $\; \mathrm{P}(n)\;$ ， $3\;$ で割ると $\; 1\;$ 余る確率を $\; \mathrm{Q}(n)\;$ ， $3\;$ で割ると $\; 2\;$ 余る確率を $\; \mathrm{R}(n)\;$ とすると

　　　 $\mathrm{P}(n)+\mathrm{Q}(n)+\mathrm{R}(n)=1　\cdots(\mathrm{A})$

$(n+1)\;$ 桁の数が $\; 3\;$ で割り切れるのは次の $\; 3\;$ 通りある。

$(\mathrm{i})\,\,\,X\;$ が $\; 3\;$ で割り切れて $\; (n+1)\;$ 個目の箱から $\; 3\;$ 出る。

$(\mathrm{ii})\,\,\,X\;$ が $\; 3\;$ で割ると $\; 1\;$ 余り $\; (n+1)\;$ 個目の箱から $\; 2\;$ か $\; 5\;$ が出る。

$(\mathrm{iii})\,\,\,X\;$ が $\; 3\;$ で割ると $\; 2\;$ 余り $\; (n+1)\;$ 個目の箱から $\; 1\;$ か $\; 4\;$ が出る。

よって　 $(n+1)\;$ 桁の数が $\; 3\;$ で割り切れる確率 $\; \mathrm{P}(n+1)\;$ は

　　　　 $\displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \mathrm{Q}(n)+\frac{2}{5} \mathrm{R}(n)$

よって　 $\displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \bigl\{ \mathrm{Q}(n)+\mathrm{R}(n)\bigr\}$

これに $\; (\mathrm{A})\;$ を代入して

　　　 $\; \displaystyle \mathrm{P}(n+1)=\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5} \bigl\{ 1-\mathrm{P}(n)\bigr\}$

　　　　　　　 $\displaystyle \; \, =-\frac{1}{5} \mathrm{P}(n)+\frac{2}{5}$

これより　 $\displaystyle \mathrm{P}(n+1)-\frac{1}{3} =-\frac{1}{5} \Bigl\{ \mathrm{P}(n)-\frac{1}{3} \Bigr\}$

数列 $\; \displaystyle \Bigl\{ \mathrm{P}(n)-\frac{1}{3} \Bigr\} \;$ は，初項 $\; \displaystyle \mathrm{P}(1)-\frac{1}{3} =-\frac{2}{15}$ 　公比 $\; \displaystyle -\frac{1}{5} \;$ の等比数列だから