高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの7（p.36，数学Ⅱ，数研）

数学Ⅱ　数研教科書

問題

${\Large 7}.$ 　次の等式，不等式を証明せよ。

$(1)\; \; (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

　　 $=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2$

$(2)\; \; (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2$

解答

$(1)\; \; (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2$

　　 $=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2bcyz+2cazx+2abxy)$

　　　 $+(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)$

　　 $=(a^2+b^2+c^2)x^2+(a^2+b^2+c^2)y^2+(a^2+b^2+c^2)z^2$

　　 $=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

よって　 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

　　　 $=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2$ 　　　　　（終）

$(2)\; \; (1)\;$ より　 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2$

　　　　　　　　　 $=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2$

$(ay-bx)^2\geqq 0,\; \; (bz-cy)^2\geqq 0,\; \; (cx-az)^2\geqq 0,\;$ だから

　　　　 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\geqq 0$

よって　 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2$ 　　　　　（終）

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