高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 7}. 次の等式,不等式を証明せよ。

(1)\; \; (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

  =(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2

(2)\; \; (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2

解答

(1)\; \; (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2

  =(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2bcyz+2cazx+2abxy)

   +(a^2y^2-2abxy+b^2x^2)+(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2)+(c^2x^2-2cazx+a^2z^2)

  =(a^2+b^2+c^2)x^2+(a^2+b^2+c^2)y^2+(a^2+b^2+c^2)z^2

  =(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

よって (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

   =(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2     (終)

(2)\; \; (1)\; より (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2

         =(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2

(ay-bx)^2\geqq 0,\; \; (bz-cy)^2\geqq 0,\; \; (cx-az)^2\geqq 0,\; だから

    (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\geqq 0

よって (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2     (終)

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)