高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの8(p.36,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 8}.\; \; 0\lt a\lt b,\; \; a+b=1\; のとき,\displaystyle \frac{1 }{2 },\; \; 2ab,\; \; a^2+b^2\; を小さい方から順に並べよ。

解答

a+b=1\; より b=1-a\; だから a\lt b\; に代入して a\lt 1-a\; より \displaystyle a\lt \frac{1 }{2 }\;

よって \displaystyle 0\lt a\lt \frac{1 }{2 }

\displaystyle \frac{1 }{2 }-2ab=\frac{1 }{2 }-2a(1-a)=2a^2-2a+\frac{1 }{2 }=2\left(a-\frac{1 }{2 } \right)^2\gt 0

\displaystyle a^2+b^2-\frac{1 }{2 }=a^2+(1-a)^2-\frac{1 }{2 }=2a^2-2a+\frac{1 }{2 }=2\left(a-\frac{1 }{2 } \right)^2\gt 0

よって,小さい方から順に \displaystyle 2ab,\; \; \frac{1 }{2 },\; \; a^2+b^2

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)