高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第1問(2017大阪大学入試)

問題

          第 1 問

 双曲線\; H:x^2-y^2=1\; 上の\; 3\; \; \mathrm{A}(-1,\; 0),\; \mathrm{B}(1,\; 0),\; \mathrm{C}(s,\; t)\; \; (t\neq0) \; を考える。

(1) 点\; \mathrm{A}\; における\; H\; の接線と直線\; \mathrm{BC}\; の交点を\; \mathrm{P}\; とするとき,\mathrm{P}\; の座標を\;s\; \; t\; を用いてあらわせ。

(2) 点\; \mathrm{C}\; における\; H\; の接線と直線\; \mathrm{AB}\; の交点を\; \mathrm{Q}\; とするとき,\mathrm{Q}\; の座標を\;s\; \; t\; を用いてあらわせ。

(3) 点\; \mathrm{B}\; における\; H\; の接線と直線\; \mathrm{AC}\; の交点を\; \mathrm{R}\; とするとき,3\; \; \mathrm{P,Q,R}\; は一直線上にあることを証明せよ。

解答

双曲線\; H\; 上の点\; \mathrm{D}(x_1,\; y_1)\; における接線の方程式を求める。

\; \mathrm{D}\; \; x\; 軸上にないとき,H\; の両辺を\; x\; について微分すると

     \; 2x-2yy'=0

よって,y \neq 0\; のとき \displaystyle y'=\frac{x }{y }

ゆえに,点\mathrm{D}\; における接線の傾きは \displaystyle y'=\frac{x_1 }{y_1 }

求める接線の方程式は

     \displaystyle y-y_1=\frac{x_1 }{y_1 } (x-x_1)

整理すると x_1x-y_1y={x_1}^2-{y_1}^2

\mathrm{D}(x_1,\; y_1)\; は双曲線\; H\; 上にあるから {x_1}^2-{y_1}^2=1

したがって,接線の方程式は

     x_1x-y_1y=1 \cdots (\mathrm{E})

さらに,点\; \mathrm{D}\; \; x\; 軸上にあるときも,接線はこの方程式で与えられる。

また,点\; \mathrm{C}\; は双曲線\; H\; 上の点だから s^2-t^2=1 より s^2=1+t^2

ここで t\neq 0\; から s^2\gt 1

よって s\lt -1,\; \; 1\lt s \cdots (K)

(1) 点\; \mathrm{A}\; における\; H\; の接線の方程式は,\; (\mathrm{E})\; \; \mathrm{A}(-1,\; 0)\; を代入して x=-1

直線\; \mathrm{BC}\; の式は,(K)\; だから \displaystyle y=\frac{t }{s-1 }(x-1)\;

よって,交点\; \mathrm{P}\; は \displaystyle \mathrm{P} \left( -1,\; -\frac{2t }{s-1 } \right)

(2) 点\; \mathrm{C}\; における\; H\; の接線の方程式は,\; (\mathrm{E})\; \; \mathrm{C}(s,\; t)\; を代入して sx-ty=1

直線\; \mathrm{AB}\; の式は y=0

よって,交点\; \mathrm{Q}\; は,(K)\; だから \displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1 }{s } ,\; 0 \right)

(3) 点\; \mathrm{B}\; における\; H\; の接線の方程式は,\; (\mathrm{E})\; \; \mathrm{B}(1,\; 0)\; を代入して x=1

直線\; \mathrm{AC}\; の式は,(K)\; だから \displaystyle y=\frac{t }{s+1 }(x+1)\;

よって,交点\; \mathrm{R}\; は \displaystyle \mathrm{P} \left( 1,\; \frac{2t }{s+1 } \right)

これらより,直線\; \mathrm{PQ}\; の傾きは \displaystyle \cfrac{0+\cfrac{2t }{s-1 } }{\cfrac{1 }{s }+1 }=\frac{2st }{s^2-1 }\;

直線\; \mathrm{QR}\; の傾きは \displaystyle \cfrac{\cfrac{2t }{s+1 }-0 }{1-\cfrac{1 }{s } }=\frac{2st }{s^2-1 }\;

したがって,直線\; \mathrm{PQ}\; と直線\; \mathrm{QR}\; の傾きが等しいから,3\; \; \mathrm{P,Q,R}\; は一直線上にある。    (証明終)

 

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