高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

数学(理系)の第2問（2017大阪大学入試）

大阪大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　 $2$ 　問

　複素数 $\; z\;$ は $\; z^5=1\;$ を満たし，実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば $\; 1\;$ ，裏が出れば $\; 0\;$ とし， $5\;$ 回投げて出た順に $\; a_0,\; a_1,\; a_2,\; a_3,\; a_4\;$ とおく。複素数 $\; w\;$ を $\; w=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4\;$ と定める。

$(1)\; \; 5$ 回とも表が出たとする。 $w\;$ の値を求めよ。

$(2)\; \; a_0=a_2=a_3=0,\; a_1=a_4=1\;$ のとき， $|w| \lt 1\;$ であることを示せ。

$(3)\; \; |w| \lt 1$ である確率を求めよ。

解答

$z^5=1\;$ から　 $|z|^5=|z^5|=1\;$ より　 $|z|=1$

また，方程式 $\; z^5=1\;$ の解のうち，実部と虚部がともに正であるものは

　　　　　 $\displaystyle z=\cos \frac{2\pi }{5 } +i\, \sin \frac{2\pi }{5 }$

$(1)\; \; a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1\;$ だから　 $w=1+z+z^2+z^3+z^4$

　　 $z^5=1,\; z\neq 0$ だから

　　　　　 $\displaystyle w=1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{1-z^5 }{1-z }=0$

$(2)\; \; a_0=a_2=a_3=0,\; a_1=a_4=1\;$ だから　 $w=z+z^4=z^4(z^{-3}+1)$

　　 $z^5=1\;$ から　 $z^{-3}=z^2\;$ より　 $w=z^4(1+z^2)$

　　　　　 $\displaystyle |1+z^2|=\left| 1+\left( \cos \frac{2\pi }{5 } +i\, \sin \frac{2\pi }{5 } \right)^2 \right| =\left| 1+ \cos \frac{4\pi }{5 } +i\, \sin \frac{4\pi }{5 } \right|$

　　　　　　　　　 $\displaystyle =\sqrt{ \left( 1+ \cos \frac{4\pi }{5 } \right)^2 + \sin ^2 \frac{4\pi }{5 } }=\sqrt{ 2 \left( 1+ \cos \frac{4\pi }{5 } \right) }$

　　　　　　　　　 $\displaystyle =2 \cos \frac{2\pi }{5 } \lt 2 \cos \frac{\pi }{3 } =1$

　　よって　 $|w|=|z^4(1+z^2)|=|z|^4|1+z^2| \lt 1$

$(3)\; \; w=z^n+z^{n+1}\; \; (n=0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4)\;$ とする。

　　　　　 $\displaystyle |w|=|z^n+z^{n+1}|=|z|^n|1+z|=|1+z|=\left| 1+ \cos \frac{2\pi }{5 } +i\, \sin \frac{2\pi }{5 } \right|$

　　　　　　 $\displaystyle \; \; =\sqrt{ \left( 1+ \cos \frac{2\pi }{5 } \right)^2 + \sin ^2 \frac{2\pi }{5 } }=\sqrt{ 2 \left( 1+ \cos \frac{2\pi }{5 } \right) }$

　　　　　　 $\displaystyle \; \; =2 \cos \frac{\pi }{5 } \gt 2 \cos \frac{\pi }{3 } =1 \cdots (\mathrm{A})$

　　 $(2)\;$ より　 $w=z^n+z^{n+2}\; \; (n=0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4)\;$ とすると

　　　　　 $|w|=|z^n+z^{n+2}|=|z|^n|1+z^2|=|1+z| \lt 1 \cdots (\mathrm{B})$

　　ここで， $1,\; z,\; z^2,\; z^3,\; z^4\;$ は単位円を $\; 5\;$ 等分する各分点である。

　　 $[1]\;$ 表が $\; 0\;$ 回のとき

　　　　 $|w|=0\;$ だから　 $|w| \lt 1\;$ であるのは $\; 1\;$ 通り

　　 $[2]\;$ 表が $\; 1\;$ 回のとき

　　　　表裏の出方は　 ${}_5 \mathrm{C} _1=5\;$ 通りあり， $w=1,\; z,\; z^2,\; z^3,\; z^4\;$

　　　　よって　 $|w|=|z^n|=|z|^n=1\; \; (n=0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4)\;$

　　 $[3]\;$ 表が $\; 2\;$ 回のとき
　
　　　　表裏の出方は　 ${}_5 \mathrm{C} _2=10\;$ 通りある。

　　　　単位円上の隣り合う $\; 2\;$ 点の和は　 $5\;$ 通りあり，その大きさは　 $(\mathrm{A})\;$ より　 $|w| \gt 1\;$ である。

　　　　単位円上の $\; 1\;$ つおきの $\; 2\;$ 点の和の大きさは　 $(\mathrm{B})\;$ より　 $|w| \lt 1\;$ となり， $5\;$ 通りある。

　　 $[4]\;$ 表が $\; 3\;$ 回のとき

　　　　単位円上の $\; 3\;$ 点の和は　 $(1)\;$ より

　　　　 $w=z^{n_0}+z^{n_1}+z^{n_2}=-\{ z^{n_3}+z^{n_4} \}$

　　　　　　 $\; \; (n_0,\; n_1,\; n_2,\; n_3,\; n_4\;$ は重ならないように $\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4\;$ のいずれか $\; )$

　　　　 $|w|=|z^{n_0}+z^{n_1}+z^{n_2}|=|z^{n_3}+z^{n_4}|$

　　　　よって　 $[3]\;$ と同様にして， $|w| \lt 1\;$ となるのは　 $5\;$ 通りある。

　　 $[5]\;$ 表が $\; 4\;$ 回のとき

　　　　単位円上の $\; 4\;$ 点の和は　 $(1)\;$ より

　　　　 $w=z^{n_0}+z^{n_1}+z^{n_2}+z^{n_3}=-z^{n_4}$

　　　　　　 $(n_0,\; n_1,\; n_2,\; n_3,\; n_4\;$ は重ならないように $\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4\;$ のいずれか $\; )$

　　　　 $|w|=|z^{n_0}+z^{n_1}+z^{n_2}+z^{n_3}|=|z^{n_4}|$

　　　　よって　 $[2]\;$ と同様にして $\; 5\;$ 通りあるが，いずれも大きさが $\; 1\;$ となる。

　　 $[6]\;$ 表が $\; 5\;$ 回のとき

　　　　 $w=1+z+z^2+z^3+z^4=0\;$ だから　 $|w| \lt 1\;$ であるのは $\; 1\;$ 通り

　以上より，求める場合の数は　 $1+5+5+1=12\;$ 通りで，その確率は

　　　　 $\displaystyle \frac{12 }{2^5 } = \frac{3 }{8 }$

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