高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第3問(2017大阪大学入試)

問題

          第 3 問

 a,\; b\; 自然数とし,不等式

     \displaystyle \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| \lt \frac{2 }{b^4 } \; \; \; \cdots \; \; \; (\mathrm{A})

を考える。次の問いに答えよ。ただし,2.645 \lt \sqrt{7} \lt 2.646 \; であること,\sqrt{7}\; 無理数であることを用いてよい。

(1) 不等式\; (\mathrm{A})\; を満たし\; b \geqq 2\; である自然数\; a,\; b\; に対して

     \displaystyle \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| \lt 6

であることを示せ。

(2) 不等式\; (\mathrm{A})\; を満たす自然数\; a,\; b\; の組のうち,b \geqq 2\; であるものをすべて求めよ。

解答

(1)\; \; b\geqq 2,\; \; \sqrt{7} \lt 2.646\; だから

   \displaystyle \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| =\left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } +2\sqrt{7 } \right|

   \displaystyle \leqq \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| +2\sqrt{7 } \lt \frac{2 }{b^4 } +2\sqrt{7 } \lt \frac{2 }{2^4 } +2\times 2.646 =5.417 \lt 6   (証明終)

(2)\; \; (\mathrm{A})\; (1)\; を辺々かけ合せると

   \displaystyle \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| \lt \frac{2 }{b^4 } \times 6

だから    \displaystyle \left| \frac{a^2 }{b^2 } -7 \right| \lt \frac{12 }{b^4 } 

b^2 \gt 0\; より \displaystyle | a^2 -7b^2 | \lt \frac{12 }{b^2 } \; \; \cdots \; \; (\mathrm{B})

a,\; b\; 自然数で,\sqrt{7}\; 無理数だから \displaystyle \frac{a }{b } \neq \sqrt{7 } \; より a^2 -7b^2 \neq 0\; だから \displaystyle \frac{12 }{b^2 } \geqq 1

よって b \geqq 2\; で b=2,\; 3

b=2\; のとき  (\mathrm{B})\; より | a^2 -28 | \lt 3\; だから 25 \lt a^2 \lt 31\;

これを満たす自然数\; a\; はない。

b=3\; のとき  (\mathrm{B})\; より \displaystyle | a^2 -63 | \lt \frac{4 }{3 } \; だから \displaystyle 63-\frac{4 }{3 } \lt a^2 \lt 63+\frac{4 }{3 } \;

よって a=8

以上より a=8,\; \; b=3

 

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