数学(理系)の第3問（2017大阪大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　 $a,\; b\;$ を自然数とし，不等式

　　　　　 $\displaystyle \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| \lt \frac{2 }{b^4 } \; \; \; \cdots \; \; \; (\mathrm{A})$

を考える。次の問いに答えよ。ただし， $2.645 \lt \sqrt{7} \lt 2.646 \;$ であること， $\sqrt{7}\;$ が無理数であることを用いてよい。

$(1)$ 　不等式 $\; (\mathrm{A})\;$ を満たし $\; b \geqq 2\;$ である自然数 $\; a,\; b\;$ に対して

　　　　　 $\displaystyle \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| \lt 6$

であることを示せ。

$(2)$ 　不等式 $\; (\mathrm{A})\;$ を満たす自然数 $\; a,\; b\;$ の組のうち， $b \geqq 2\;$ であるものをすべて求めよ。

解答

$(1)\; \; b\geqq 2,\; \; \sqrt{7} \lt 2.646\;$ だから

　　　 $\displaystyle \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| =\left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } +2\sqrt{7 } \right|$

　　　 $\displaystyle \leqq \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| +2\sqrt{7 } \lt \frac{2 }{b^4 } +2\sqrt{7 } \lt \frac{2 }{2^4 } +2\times 2.646 =5.417 \lt 6$ 　　　（証明終）

$(2)\; \; (\mathrm{A})$ と $\; (1)\;$ を辺々かけ合せると

　　　 $\displaystyle \left| \frac{a }{b } -\sqrt{7 } \right| \left| \frac{a }{b } +\sqrt{7 } \right| \lt \frac{2 }{b^4 } \times 6$

だから　　　 $\displaystyle \left| \frac{a^2 }{b^2 } -7 \right| \lt \frac{12 }{b^4 }$

$b^2 \gt 0\;$ より　 $\displaystyle | a^2 -7b^2 | \lt \frac{12 }{b^2 } \; \; \cdots \; \; (\mathrm{B})$

$a,\; b\;$ が自然数で， $\sqrt{7}\;$ が無理数だから　 $\displaystyle \frac{a }{b } \neq \sqrt{7 } \;$ より　 $a^2 -7b^2 \neq 0\;$ だから　 $\displaystyle \frac{12 }{b^2 } \geqq 1$

よって　 $b \geqq 2\;$ で　 $b=2,\; 3$

$b=2\;$ のとき　 $(\mathrm{B})\;$ より　 $| a^2 -28 | \lt 3\;$ だから　 $25 \lt a^2 \lt 31\;$

これを満たす自然数 $\; a\;$ はない。

$b=3\;$ のとき　 $(\mathrm{B})\;$ より　 $\displaystyle | a^2 -63 | \lt \frac{4 }{3 } \;$ だから　 $\displaystyle 63-\frac{4 }{3 } \lt a^2 \lt 63+\frac{4 }{3 } \;$