数学(理系)の第4問（2017大阪大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $4$ 　問

　 $b,\; c\;$ を実数とする。 $2\;$ 次関数 $\; f(x)=-x^2+bx+c\;$ が

　　　　　 $0 \leqq f(1) \leqq 2,\; \;5 \leqq f(3) \leqq 6$

を満たすとする。

$(1)\; \; f(4)\;$ のとりうる値の範囲を求めよ。

$(2)$ 　放物線 $\; y=f(x)\;$ の頂点の $\; y\;$ 座標 $\; q\;$ のとりうる値の範囲を求めよ。

$(3)$ 　放物線 $\; y=f(x)\;$ の頂点の $\; y\;$ 座標が $\; 6\;$ のとき，放物線 $\; y=f(x)\;$ と $\; x\;$ 軸で囲まれた部分の面積 $\; S\;$ を求めよ。

解答

$(1)\; \; 0 \leqq f(1) \leqq 2,\; \;5 \leqq f(3) \leqq 6\;$ より　 $1 \leqq b+c \leqq 3,\; \;14 \leqq 3b+c \leqq 15$

点 $(b,\, c)\;$ が満たすこの領域の $\; 4\;$ つの頂点の座標は

$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{11 }{2 },\, -\frac{5 }{2 } \right),\; \mathrm{B} \left( \frac{13 }{2 },\, -\frac{11 }{2 } \right),\; \mathrm{C} ( 7,\, -6 ),\; \mathrm{D} ( 6,\, -3 )$

$f(4)=k\;$ とおくと　 $c=-4b+16+k\;$ より　 $y=-4x+16+k\; \; \cdots (\mathrm{E} )$ 　

直線 $\; (\mathrm{E} )\;$ が点 $\displaystyle \; \mathrm{A} \left( \frac{11 }{2 },\, -\frac{5 }{2 } \right)\;$ を通るとき　 $\displaystyle k=\frac{7 }{2 }\;$ で最小

直線 $\; (\mathrm{E} )\;$ が点 $\; \mathrm{C} ( 7,\, -6 )\;$ を通るとき　 $k=6\;$ で最大

よって　 $\displaystyle \frac{7 }{2 } \leqq f(4) \leqq 6$

$\displaystyle (2)\; \; y=-x^2+bx+c=-\left( x-\frac{b }{2 }\right) ^2+\frac{b^2 }{4 }+c\;$ より　 $\displaystyle q=\frac{b^2 }{4 }+c\;$ だから　 $\displaystyle c=-\frac{b^2 }{4 }+q$

より　 $\displaystyle y=-\frac{x^2 }{4 }+q\; \; \cdots (\mathrm{F} )$

放物線 $\; (\mathrm{F} )\;$ が $\; 4\;$ つの頂点 $\; \mathrm{A} ,\; \mathrm{B} ,\; \mathrm{C} ,\; \mathrm{D} \;$ を通るとき，順に $\displaystyle \; q=\frac{81 }{16 },\; \frac{81 }{16 },\; \frac{25 }{4 },\; 6\;$