高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第4問(2017大阪大学入試)

問題

          第 4 問

 b,\; c\; を実数とする。2\; 次関数\; f(x)=-x^2+bx+c\; 

     0 \leqq f(1) \leqq 2,\; \;5 \leqq f(3) \leqq 6

を満たすとする。

(1)\; \; f(4)\; のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 放物線\; y=f(x)\; の頂点の\; y\; 座標\; q\; のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) 放物線\; y=f(x)\; の頂点の\; y\; 座標が\; 6\; のとき,放物線\; y=f(x)\; \; x\; 軸で囲まれた部分の面積\; S\; を求めよ。

解答

(1)\; \; 0 \leqq f(1) \leqq 2,\; \;5 \leqq f(3) \leqq 6\; より 1 \leqq b+c \leqq 3,\; \;14 \leqq 3b+c \leqq 15

(b,\, c)\; が満たすこの領域の\; 4\; つの頂点の座標は

\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{11 }{2 },\, -\frac{5 }{2 } \right),\; \mathrm{B} \left( \frac{13 }{2 },\, -\frac{11 }{2 } \right),\; \mathrm{C} ( 7,\, -6 ),\; \mathrm{D} ( 6,\, -3 ) 

f(4)=k\; とおくと c=-4b+16+k\; より y=-4x+16+k\; \; \cdots (\mathrm{E} ) 

直線\; (\mathrm{E} )\; が点\displaystyle \; \mathrm{A} \left( \frac{11 }{2 },\, -\frac{5 }{2 } \right)\; を通るとき \displaystyle k=\frac{7 }{2 }\; で最小

直線\; (\mathrm{E} )\; が点\; \mathrm{C} ( 7,\, -6 )\; を通るとき k=6\; で最大

よって \displaystyle \frac{7 }{2 } \leqq f(4) \leqq 6

\displaystyle (2)\; \; y=-x^2+bx+c=-\left( x-\frac{b }{2 }\right) ^2+\frac{b^2 }{4 }+c\; より  \displaystyle q=\frac{b^2 }{4 }+c\; だから \displaystyle c=-\frac{b^2 }{4 }+q

より \displaystyle y=-\frac{x^2 }{4 }+q\; \; \cdots (\mathrm{F} )

放物線\; (\mathrm{F} )\; \; 4\; つの頂点\; \mathrm{A} ,\; \mathrm{B} ,\; \mathrm{C} ,\; \mathrm{D} \; を通るとき,順に\displaystyle \; q=\frac{81 }{16 },\; \frac{81 }{16 },\; \frac{25 }{4 },\; 6\; 

また,放物線\; (\mathrm{F} )\; が直線\; 3x+y=14\; と接するとき \displaystyle 3x-\frac{x^2 }{4 }+q=14\; から  x^2-12x-4q+56=0

判別式 D/4=36+4q-56=0\; より q=5\; で 接点は(6,\; -4)\; でこの領域内にある。

以上より \displaystyle 5 \leqq f(4) \leqq \frac{25 }{4 }

(3)\; \; q=6\; より \displaystyle c=-\frac{b^2 }{4 }+6だから \displaystyle y=-x^2+bx-\frac{b^2 }{4 }+6

x\; 軸との交点の\; x\; 座標は \displaystyle x= \frac{b \pm 2 \sqrt{6} }{2 }

\displaystyle S=\int_{\frac{b-2 \sqrt{6} }{2 }}^{\frac{b+2 \sqrt{6} }{2 }}\left( -x^2+bx-\frac{b^2 }{4 }+6\right) dx

\displaystyle =\frac{1 }{6 } \left( \frac{b+2 \sqrt{6} }{2 } -\frac{b-2 \sqrt{6} }{2 } \right)^3  =\frac{1 }{6 } ( 2 \sqrt{6} )^3 =8 \sqrt{6} 

 

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