高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの5(p.46,数学B,数研)

問題

{\Large 5}. \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; の外心を\; \mathrm{O}\; とし,辺\; \mathrm{AB}\; の中点を\; \mathrm{D}\; \; \bigtriangleup \mathrm{ACD}\; の重心を\; \mathrm{E}\; とする。\; \mathrm{AB}=\mathrm{AC}\; ならば\; \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE} }=0\; であることを証明せよ。

解答

\overrightarrow{\mathrm{OA} }=\overrightarrow{a},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB} }=\overrightarrow{b},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC} } =\overrightarrow{c}\; とする。

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } = \overrightarrow{\mathrm{OD} }-\overrightarrow{\mathrm{OC} }=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OB} } }{2 } -\overrightarrow{\mathrm{OC} } =\frac{1}{2} \overrightarrow{a} +\frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE} } = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OC} }+\overrightarrow{\mathrm{OD} } }{3}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OC} }+\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OB} } }{2 }}{3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}

したがって

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE} }=\left( \frac{1}{2} \overrightarrow{a} +\frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} \right)

     \displaystyle =\frac{1}{12}\left(3| \overrightarrow{a} | ^2+ | \overrightarrow{b} | ^2-4 | \overrightarrow{c} | ^2 \right)+\frac{1}{3} \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} \right)

ここで,点\; \mathrm{O}\; \; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\; の外心だから \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}\; より \; | \overrightarrow{a} | =| \overrightarrow{b} | =| \overrightarrow{c} |

さらに,\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\; だから,\bigtriangleup \mathrm{OAB}\equiv \bigtriangleup \mathrm{OAC}\; より \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}

よって,\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE} }=0       (証明終)

 

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