演習問題Bの5（p.46，数学B，数研）

問題

${\Large 5}.$ 　 $\bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ の外心を $\; \mathrm{O}\;$ とし，辺 $\; \mathrm{AB}\;$ の中点を $\; \mathrm{D}\;$ ， $\; \bigtriangleup \mathrm{ACD}\;$ の重心を $\; \mathrm{E}\;$ とする。 $\; \mathrm{AB}=\mathrm{AC}\;$ ならば $\; \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE} }=0\;$ であることを証明せよ。

解答

$\overrightarrow{\mathrm{OA} }=\overrightarrow{a},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB} }=\overrightarrow{b},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC} } =\overrightarrow{c}\;$ とする。

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } = \overrightarrow{\mathrm{OD} }-\overrightarrow{\mathrm{OC} }=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OB} } }{2 } -\overrightarrow{\mathrm{OC} } =\frac{1}{2} \overrightarrow{a} +\frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE} } = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OC} }+\overrightarrow{\mathrm{OD} } }{3}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OC} }+\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA} }+\overrightarrow{\mathrm{OB} } }{2 }}{3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$

したがって

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE} }=\left( \frac{1}{2} \overrightarrow{a} +\frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} \right)$

　　　　　 $\displaystyle =\frac{1}{12}\left(3| \overrightarrow{a} | ^2+ | \overrightarrow{b} | ^2-4 | \overrightarrow{c} | ^2 \right)+\frac{1}{3} \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} \right)$

ここで，点 $\; \mathrm{O}\;$ は $\; \bigtriangleup \mathrm{ABC}\;$ の外心だから　 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}\;$ より　 $\; | \overrightarrow{a} | =| \overrightarrow{b} | =| \overrightarrow{c} |$

さらに， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\; ,\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}\;$ だから， $\bigtriangleup \mathrm{OAB}\equiv \bigtriangleup \mathrm{OAC}\;$ より　 $\angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC}\;$

よって， $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =| \overrightarrow{a} |\; | \overrightarrow{b} |\; \cos \angle \mathrm{AOB} =| \overrightarrow{a} |\; | \overrightarrow{c} |\; \cos \angle \mathrm{AOC} =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$