高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの6(p.46,数学B,数研)

問題

{\Large 6}. \bigtriangleup \mathrm{OAB}\; に対して,点\; \mathrm{P}\; が次の条件を満たしながら動くとき,点\; \mathrm{P}\; の存在範囲を求めよ。

(1)\; \; \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}},\; \; 0\leqq s\leqq 1,\; \; 0\leqq t\leqq 1 

(2)\; \; \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}},\; \; 1\leqq s+t\leqq 3,\; \; s\geqq 0,\; \; t\geqq 0 

解答

(1) 平行四辺形\; \mathrm{OACB}\; を考える。

s=k\; \; (0\leqq k\leqq 1)\; とすると \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}

k\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}\; となる点\; \mathrm{D}\; を線分\; \mathrm{OA}\; 上にとり,\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\; となる点\; \mathrm{E}\; を線分\; \mathrm{BC}\; 上にとると

     \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\; \; (0\leqq t\leqq 1)

となり,点\; \mathrm{P}\; は線分\; \mathrm{DE}\; 上を動く。

また,k\; \; 0\; から\; 1\; まで変化すると,点\; \mathrm{D}\; は点\; \mathrm{O}\; から点\; \mathrm{A}\; まで動くから,点\; \mathrm{P}\; の存在範囲は平行四辺形\; \mathrm{OACB}\; の周および内部である。

(2)\; \; s+t=k\; \; (1\leqq k\leqq 3)\; とおくと \displaystyle \frac{s}{k}+\frac{t}{k}=1

また \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{s}{k}\left( k\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) +\frac{t}{k}\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)

ここで \displaystyle \frac{s}{k}=s',\; \; \frac{t}{k}=t'\; とおくと

     \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s'\left( k\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) +t'\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right),\; \; s'+t'=1,\; \; s'\geqq 0,\; \; t'\geqq 0

よって k\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA'}},\; \; k\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB'}}\; を満たす点\; \mathrm{A'},\; \mathrm{B'}\; をとると,定数\; k\; に対して,点\; \mathrm{P}\; の存在範囲は辺\; \mathrm{AB}\; に平行な辺\; \mathrm{A'B'}\; である。

ここで,3\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\; \; 3\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}\; を満たす点\; \mathrm{C},\; \mathrm{D}\; をとる

k\; の値が\; 1\leqq k\leqq 3\; の範囲で変化すると,線分\; \mathrm{A'B'}\; 上の点\; \mathrm{P}\; の存在範囲は台形\; \mathrm{ACDB}\; の周および内部である。

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)