高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.46,数学B,数研)

問題

{\Large 7}. 平面上の異なる\; 2\; つの定点\; \mathrm{O},\; \; \mathrm{A}\; と任意の点\; \mathrm{P}\; に対し,\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\; とする。次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。

(1)\; \; (\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0

(2)\; \; |\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|

解答

(1)\; \; (\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\; より |\overrightarrow{p}|^2-|\overrightarrow{a}|^2=0

|\overrightarrow{p}|\geqq 0,\; \; |\overrightarrow{a}|\geqq 0\; だから  |\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{a}|\; より \bigg|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\bigg|=\bigg|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\bigg|\;

よって,点\; \mathrm{P}\; は点\; \mathrm{O}\; を中心とする半径\; \mathrm{OA}\; の円を表す。

(2)\; \; |\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|より |\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}|^2=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|^2

|\overrightarrow{p}|^2+2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|^2=|\overrightarrow{p}|^2-2\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|^2

\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}=0\; より \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0

よって \overrightarrow{\mathrm{OP}}\neq \overrightarrow{0}\; のとき \overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}

    \overrightarrow{\mathrm{OP}}= \overrightarrow{0}\; のとき \mathrm{P}\; \; \mathrm{O}\; と一致する。

したがって,点\; \mathrm{P}\; は点\; \mathrm{O}\; を通る\; \mathrm{OA}\; の垂線を表す。

 

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