演習問題Bの3（p.32，数学Ⅲ，数研）

問題

${\Large 3}.$ 　複素数平面上で， $1+2i,\; \; 3\;$ を表す点をそれぞれ $\; \mathrm{B},\; \; \mathrm{C}\;$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

$(1)\; \; \mathrm{BC}\;$ を $\; 1\;$ 辺とする正三角形 $\; \mathrm{ABC}\;$ の，頂点 $\; \mathrm{A}\;$ を表す複素数を求めよ。

$(2)\; \; (1)\;$ で求めた $\; \mathrm{A}\;$ に対して， $\mathrm{BA},\; \; \mathrm{BC}\;$ を $\; 2\;$ 辺とする平行四辺形 $\; \mathrm{ABCD}\;$ の，頂点 $\; \mathrm{D}\;$ を表す複素数を求めよ。

解答

$(1)$ 　点 $\; \mathrm{A}\;$ が表す複素数を $\; \alpha \;$ とする。

点 $\; \mathrm{A}\;$ は，点 $\; \mathrm{B}\;$ を点 $\; \mathrm{C}\;$ を中心として $\displaystyle \; \frac{\pi}{3} \;$ または $\displaystyle \; -\frac{\pi}{3} \;$ だけ回転すると得られるから

　　　　　 $\displaystyle \alpha -3=\left( \cos \frac{\pi}{3} +i\, \sin \frac{\pi}{3} \right) \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (D)$

または　　 $\displaystyle \alpha -3=\left\{ \cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) +i\, \sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) \right\} \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (E)$

$(D)\;$ から　 $\displaystyle \alpha =3+ \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)$

　　　　　　 $=2- \sqrt{3} +(1- \sqrt{3} )i$

$(E)\;$ から　 $\displaystyle \alpha =3+ \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)$

　　　　　　 $=2+ \sqrt{3} +(1+ \sqrt{3} )i$

$(2)$ 　点 $\; \mathrm{D}\;$ が表す複素数を $\; \beta \;$ とする。

点 $\; \mathrm{D}\;$ は，点 $\; \mathrm{B}\;$ を点 $\; \mathrm{C}\;$ を中心として $\displaystyle \; \frac{2}{3} \pi \;$ または $\displaystyle \; -\frac{2}{3} \pi \;$ だけ回転すると得られるから

　　　　　 $\displaystyle \beta -3=\left( \cos \frac{2}{3} \pi +i\, \sin \frac{2}{3} \pi \right) \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (F)$

または　　 $\displaystyle \beta -3=\left\{ \cos \left(-\frac{2}{3} \pi \right) +i\, \sin \left(-\frac{2}{3} \pi \right) \right\} \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (G)$