高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの3(p.32,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 3}. 複素数平面上で,1+2i,\; \; 3\; を表す点をそれぞれ\; \mathrm{B},\; \; \mathrm{C}\; とする。このとき,次の問いに答えよ。

(1)\; \; \mathrm{BC}\; \; 1\; 辺とする正三角形\; \mathrm{ABC}\; の,頂点\; \mathrm{A}\; を表す複素数を求めよ。

(2)\; \; (1)\; で求めた\; \mathrm{A}\; に対して,\mathrm{BA},\; \; \mathrm{BC}\; \; 2\; 辺とする平行四辺形\; \mathrm{ABCD}\; の,頂点\; \mathrm{D}\; を表す複素数を求めよ。

解答

(1) 点\; \mathrm{A}\; が表す複素数\; \alpha \; とする。

\; \mathrm{A}\; は,点\; \mathrm{B}\; を点\; \mathrm{C}\; を中心として\displaystyle \; \frac{\pi}{3} \; または\displaystyle \; -\frac{\pi}{3} \; だけ回転すると得られるから

     \displaystyle \alpha -3=\left( \cos \frac{\pi}{3} +i\, \sin \frac{\pi}{3} \right) \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (D)

または  \displaystyle \alpha -3=\left\{ \cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) +i\, \sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) \right\} \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (E)

(D)\; から \displaystyle \alpha =3+ \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)

      =2- \sqrt{3} +(1- \sqrt{3} )i

(E)\; から \displaystyle \alpha =3+ \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)

      =2+ \sqrt{3} +(1+ \sqrt{3} )i

(2) 点\; \mathrm{D}\; が表す複素数\; \beta \; とする。

\; \mathrm{D}\; は,点\; \mathrm{B}\; を点\; \mathrm{C}\; を中心として\displaystyle \; \frac{2}{3} \pi \; または\displaystyle \; -\frac{2}{3} \pi \; だけ回転すると得られるから

     \displaystyle \beta -3=\left( \cos \frac{2}{3} \pi +i\, \sin \frac{2}{3} \pi \right) \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (F)

または  \displaystyle \beta -3=\left\{ \cos \left(-\frac{2}{3} \pi \right) +i\, \sin \left(-\frac{2}{3} \pi \right) \right\} \{ (1+2i)-3\} \; \; \cdots (G)

(F)\; から \displaystyle \beta =3+ \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)

      =4- \sqrt{3} +(-1- \sqrt{3} )i

(G)\; から \displaystyle \beta =3+ \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i \right) (-2+2i)

      =4+ \sqrt{3} +(-1+ \sqrt{3} )i

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)