高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの4(p.32,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 4}. 複素数平面上で\; 3\; \; \mathrm{O} (0),\; \; \mathrm{A} (\alpha),\; \; \mathrm{B} (\beta)\; を頂点とする\; \bigtriangleup \mathrm{OAB}\; の外側に,右の図(図は省略)のように,\mathrm{OA},\; \; \mathrm{OB}\; \; 1\; 辺とする正方形を\; 2\; (\; \mathrm{OACP},\; \; \mathrm{OBDQ}\; )\; 作る。2\; \; \mathrm{C} (\gamma),\; \; \mathrm{D} (\delta)\; を結ぶ線分の中点を\; \mathrm{M} (\mu)\; とするとき,次のことを示せ。

(1)\; \; \gamma =(1-i)\alpha,\; \; \delta =(1+i)\beta

(2)\; \; \bigtriangleup \mathrm{MAB}\; は直角二等辺三角形である。

解答

(1) 点\; \mathrm{C}\; は,点\; \mathrm{A}\; を点\; \mathrm{O}\; を中心として\displaystyle \; -\frac{\pi}{4} \; だけ回転して,\sqrt{2}\; 倍すると得られるから

     \displaystyle \gamma =\sqrt{2} \left\{ \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) +i\, \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right\} \alpha

      \displaystyle =\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) \alpha =(1-i) \alpha

\; \mathrm{D}\; は,点\; \mathrm{B}\; を点\; \mathrm{O}\; を中心として\displaystyle \; \frac{\pi}{4} \; だけ回転して,\sqrt{2}\; 倍すると得られるから

     \displaystyle \delta =\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} +i\, \sin \frac{\pi}{4} \right) \beta

      \displaystyle =\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) \beta =(1+i) \beta

(2)\; \; \mathrm{M} \; は線分\; \mathrm{CD}\; の中点だから

\displaystyle \mu = \frac{\gamma + \delta}{2}=\frac{(1-i) \alpha +(1+i) \beta }{2}=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-\frac{1}{2}(\alpha-\beta)i

よって \displaystyle \frac{\beta-\mu}{\alpha-\mu}=\frac{\beta-\left\{ \cfrac{1}{2}(\alpha+\beta)-\cfrac{1}{2}(\alpha-\beta)i \right\} }{\alpha-\left\{ \cfrac{1}{2}(\alpha+\beta)-\cfrac{1}{2}(\alpha-\beta)i \right\} }=\frac{-(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)i }{(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)i }

        \displaystyle =\frac{(\alpha-\beta)(-1+i)}{(\alpha-\beta)(1+i) }=\frac{-1+i}{1+i}=i

i \; は純虚数だから,2\; 直線\; \mathrm{MA},\; \; \mathrm{MB}\; は垂直に交わり \displaystyle \angle \, \mathrm{AMB}=\frac{\pi}{2}

また \displaystyle \left| \frac{\beta-\mu}{\alpha-\mu}\right|=|i|=1\; だから | \alpha-\mu |=| \beta-\mu | \; より \mathrm{MA}=\mathrm{MB}

したがって \bigtriangleup \mathrm{MAB}\; は直角二等辺三角形である。

 

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