高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの8(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 8}.\; \; a\; は定数とする。関数\; y=x^2-2x\; \; (a\leqq x\leqq a+1)\; について,次の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

解答

f(x)=x^2-2x\; とする。変形すると f(x)=(x-1)^2-1

よって y=f(x)\; のグラフは下に凸の放物線で,軸は x=1\; ,頂点は (1,\; -1)

また f(a)=a^2-2a,\; \; f(a+1)=a^2-1

x\; の変域 a\leqq x\leqq a+1\; の幅は\; 1\; で一定であり,中央の値は \displaystyle a+\frac{1}{2}

(1)\; \; [1]\; \; x\; の変域が軸より左にあるとき,すなわち a+1\lt 1\; のとき,

    つまり a\lt 0\; のとき

    x=a+1\; で最小となり,最小値は f(a+1)=a^2-1

  [2]\; \; x\; の変域の中に軸があるとき,すなわち a\leqq 1\leqq a+1\; のとき,

    つまり 0\leqq a\leqq 1\; のとき

    x=1\; で最小となり,最小値は -1

  [3]\; \; x\; の変域が軸より右にあるとき,

    すなわち 1\lt a\; のとき

    x=a\; で最小となり,最小値は f(a)=a^2-2a

以上より a\lt 0\; とき x=a+1\; で最小値 a^2-1

     0\leqq a\leqq 1\; のとき x=1\; で最小値 -1

     1\lt a\; のとき x=a\; で最小値 a^2-2a

(2)\; \; [4]\; \; x\; の変域の中央が軸より左にあるとき,すなわち \displaystyle a+\frac{1}{2}\lt 1\; のとき,

    つまり \displaystyle a\lt \frac{1}{2}\; のとき

    x=a\; で最大となり,最大値は f(a)=a^2-2a

  [5]\; \; x\; の変域の中央が軸と一致するとき,すなわち \displaystyle a+\frac{1}{2}=1\; のとき,

    つまり \displaystyle a= \frac{1}{2}\; のとき

    \displaystyle x= \frac{1}{2},\; \frac{3}{2}\; で最大となり,最大値は \displaystyle f\left( \frac{1}{2}\right) =f\left( \frac{3}{2}\right) =-\frac{3}{4}

  [6]\; \; x\; の変域の中央が軸より右にあるとき,すなわち \displaystyle 1\lt a+\frac{1}{2}\; のとき,

    つまり \displaystyle \frac{1}{2}\lt a\; のとき

    x=a+1\; で最大となり,最大値は f(a+1)=a^2-1

以上より \displaystyle a\lt \frac{1}{2}\; のとき x=a\; で最大値 a^2-2a

     \displaystyle a= \frac{1}{2}\; のとき \displaystyle x= \frac{1}{2},\; \frac{3}{2}\; で最大値 \displaystyle -\frac{3}{4}

     \displaystyle \frac{1}{2}\lt a\; のとき x=a+1\; で最大値 a^2-1

 

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