高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの8（p.117，数学Ⅰ，数研）

数学Ⅰ　数研教科書

問題

${\Large 8}.\; \; a\;$ は定数とする。関数 $\; y=x^2-2x\; \; (a\leqq x\leqq a+1)\;$ について，次の問いに答えよ。

$(1)$ 　最小値を求めよ。

$(2)$ 　最大値を求めよ。

解答

$f(x)=x^2-2x\;$ とする。変形すると　 $f(x)=(x-1)^2-1$

よって　 $y=f(x)\;$ のグラフは下に凸の放物線で，軸は　 $x=1\;$ ，頂点は　 $(1,\; -1)$

また　 $f(a)=a^2-2a,\; \; f(a+1)=a^2-1$

$x\;$ の変域　 $a\leqq x\leqq a+1\;$ の幅は $\; 1\;$ で一定であり，中央の値は　 $\displaystyle a+\frac{1}{2}$

$(1)\; \; [1]\; \; x\;$ の変域が軸より左にあるとき，すなわち　 $a+1\lt 1\;$ のとき，

　　　　つまり　 $a\lt 0\;$ のとき

　　　　 $x=a+1\;$ で最小となり，最小値は　 $f(a+1)=a^2-1$

　　 $[2]\; \; x\;$ の変域の中に軸があるとき，すなわち　 $a\leqq 1\leqq a+1\;$ のとき，

　　　　つまり　 $0\leqq a\leqq 1\;$ のとき

　　　　 $x=1\;$ で最小となり，最小値は　 $-1$

　　 $[3]\; \; x\;$ の変域が軸より右にあるとき，

　　　　すなわち　 $1\lt a\;$ のとき

　　　　 $x=a\;$ で最小となり，最小値は　 $f(a)=a^2-2a$

以上より　 $a\lt 0\;$ とき　 $x=a+1\;$ で最小値　 $a^2-1$

　　　　　 $0\leqq a\leqq 1\;$ のとき　 $x=1\;$ で最小値　 $-1$

　　　　　 $1\lt a\;$ のとき　 $x=a\;$ で最小値　 $a^2-2a$

$(2)\; \; [4]\; \; x\;$ の変域の中央が軸より左にあるとき，すなわち　 $\displaystyle a+\frac{1}{2}\lt 1\;$ のとき，

　　　　つまり　 $\displaystyle a\lt \frac{1}{2}\;$ のとき

　　　　 $x=a\;$ で最大となり，最大値は　 $f(a)=a^2-2a$

　　 $[5]\; \; x\;$ の変域の中央が軸と一致するとき，すなわち　 $\displaystyle a+\frac{1}{2}=1\;$ のとき，

　　　　つまり　 $\displaystyle a= \frac{1}{2}\;$ のとき

　　　　 $\displaystyle x= \frac{1}{2},\; \frac{3}{2}\;$ で最大となり，最大値は　 $\displaystyle f\left( \frac{1}{2}\right) =f\left( \frac{3}{2}\right) =-\frac{3}{4}$

　　 $[6]\; \; x\;$ の変域の中央が軸より右にあるとき，すなわち　 $\displaystyle 1\lt a+\frac{1}{2}\;$ のとき，

　　　　つまり　 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt a\;$ のとき

　　　　 $x=a+1\;$ で最大となり，最大値は　 $f(a+1)=a^2-1$

以上より　 $\displaystyle a\lt \frac{1}{2}\;$ のとき　 $x=a\;$ で最大値　 $a^2-2a$

　　　　　 $\displaystyle a= \frac{1}{2}\;$ のとき　 $\displaystyle x= \frac{1}{2},\; \frac{3}{2}\;$ で最大値　 $\displaystyle -\frac{3}{4}$

　　　　　 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt a\;$ のとき　 $x=a+1\;$ で最大値　 $a^2-1$

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