高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの10(p.117,数学Ⅰ,数研)

問題

{\Large 10}. 関数\; y=x^2-4x+m(4-m)\; について,0\leqq x\leqq 5\; の範囲で\; y\; の値が常に負となるように,定数\; m\; の値の範囲を定めよ。

解答

  y=x^2-4x+m(4-m)=(x-2)^2-m^2+4m-4

このグラフは下に凸の放物線で,軸\; x=2\; \; x\; の変域の中央より左にあるから,x\; の変域の右端の\; x=5\; \; y\; の値が負となれば,x\; の変域で\; y\; の値が常に負となる。よって

  5^2-4\times 5+m(4-m)\lt 0

これを解くと (m+1)(m-5)\gt 0 より m\lt -1,\; \; 5\lt m

 

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