高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

問題

${\Large 10}.$ 　関数 $\; y=x^2-4x+m(4-m)\;$ について， $0\leqq x\leqq 5\;$ の範囲で $\; y\;$ の値が常に負となるように，定数 $\; m\;$ の値の範囲を定めよ。

解答

　　 $y=x^2-4x+m(4-m)=(x-2)^2-m^2+4m-4$

このグラフは下に凸の放物線で，軸 $\; x=2\;$ が $\; x\;$ の変域の中央より左にあるから， $x\;$ の変域の右端の $\; x=5\;$ で $\; y\;$ の値が負となれば， $x\;$ の変域で $\; y\;$ の値が常に負となる。よって

　　 $5^2-4\times 5+m(4-m)\lt 0$

これを解くと　 $(m+1)(m-5)\gt 0$ 　より　 $m\lt -1,\; \; 5\lt m$

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