高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの6(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 6}. 整式\; P(x)\; \; x^2-x-2\; で割ると余りが\; x-1\; x^2-2x-3\; で割ると余りが\; 3x+1\; である。P(x)\; \; x^2-5x+6\; で割ったときの余りを求めよ。

解答

x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\; \; x^2-x-2=(x+1)(x-2),\; \; x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

P(x)\; \; 2\; 次式\; (x-2)(x-3)\; で割ったときの商を\; Q(x),余りを\; ax+b\; とすると,次の等式が成り立つ。

   P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b\; \; \; \cdots (A)

P(x)\; \; (x+1)(x-2)\; で割った余りが\; x-1\; だから,このときの商を\; Q_1(x)\; とすると,次の等式が成り立つ。

   P(x)=(x+1)(x-2)Q_1(x)+x-1

ゆえに P(2)=2-1=1

また,P(x)\; \; (x+1)(x-3)\; で割った余りが\; 3x+1\; だから,このときの商を\; Q_2(x)\; とすると,次の等式が成り立つ。

   P(x)=(x+1)(x-3)Q_2(x)+3x+1

ゆえに P(3)=3\cdot 3+1=10

(A)\; の両辺に x=2,\; 3\; を代入すると,それぞれ

   P(2)=2a+b,\; \; P(3)=3a+b

よって 2a+b=1,\; \; 3a+b=10

これを解くと a=9,\; \; b=-17

求める余りは 9x-17

 

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