高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの6（p.62，数学Ⅱ，数研）

数学Ⅱ　数研教科書

問題

${\Large 6}.$ 　整式 $\; P(x)\;$ を $\; x^2-x-2\;$ で割ると余りが $\; x-1$ ， $\; x^2-2x-3\;$ で割ると余りが $\; 3x+1\;$ である。 $P(x)\;$ を $\; x^2-5x+6\;$ で割ったときの余りを求めよ。

解答

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\; \; x^2-x-2=(x+1)(x-2),\; \; x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$

$P(x)\;$ を $\; 2\;$ 次式 $\; (x-2)(x-3)\;$ で割ったときの商を $\; Q(x)$ ，余りを $\; ax+b\;$ とすると，次の等式が成り立つ。

　　　 $P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b\; \; \; \cdots (A)$

$P(x)\;$ を $\; (x+1)(x-2)\;$ で割った余りが $\; x-1\;$ だから，このときの商を $\; Q_1(x)\;$ とすると，次の等式が成り立つ。

　　　 $P(x)=(x+1)(x-2)Q_1(x)+x-1$

ゆえに　 $P(2)=2-1=1$

また， $P(x)\;$ を $\; (x+1)(x-3)\;$ で割った余りが $\; 3x+1\;$ だから，このときの商を $\; Q_2(x)\;$ とすると，次の等式が成り立つ。

　　　 $P(x)=(x+1)(x-3)Q_2(x)+3x+1$

ゆえに　 $P(3)=3\cdot 3+1=10$

$(A)\;$ の両辺に　 $x=2,\; 3\;$ を代入すると，それぞれ

　　　 $P(2)=2a+b,\; \; P(3)=3a+b$

よって　 $2a+b=1,\; \; 3a+b=10$

これを解くと　 $a=9,\; \; b=-17$

求める余りは　 $9x-17$

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