高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 7}. x=1+\sqrt{2}\; i\; のとき,次の問いに答えよ。

(1) x^2-2x+3=0\; であることを示せ。

(2) (1)\; の結果を用いて,x^3+3x^2-5x-14\; の値を求めよ。

解答

(1) x=1+\sqrt{2}\; i\; から x-1=\sqrt{2}\; i

両辺を2\; 乗して (x-1)^2=-2

展開して整理すると x^2-2x+3=0

(2) P(x)=x^3+3x^2-5x-14\; とする。

P(x)\; \; x^2-2x+3\; で割ると,商は\; x+5,余りは\; 2x-29\; だから

   P(x)=(x^2-2x+3)(x+5)+2x-29

x=1+\sqrt{2}\; i\; を代入すると,(1)\; から

   P(1+\sqrt{2}\; i)=0+2(1+\sqrt{2}\; i)-29=-27+2\sqrt{2}\; i

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)