高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの8(p.62,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 8}. 3\; 次方程式\; x^3+ax^2-5x+b=0\; \; 2\; 重解\; -1\; をもつとき,定数\; a,\; b\; の値を求めよ。また,他の解を求めよ。

解答

-1\; が解であるから (-1)^3+a(-1)^2-5(-1)+b=0

よって b=-a-4\;\; \; \cdots (A)

これを与えられた方程式に代入して

   x^3+ax^2-5x-a-4=0

-1\; が解であることから,左辺は\; x+1\; を因数にもつから

   (x+1)\{x^2+(a-1)x-a-4\}=0

x^2+(a-1)x-a-4=0\;\; \; \cdots (B)とすると,

(B)\; \; -1\; を解にもつから (-1)^2+(a-1)(-1)-a-4=0

よって a=-1

(A)\; より b=-3

また,a=-1\; \; (B)\; に代入して

   x^2-2x-3=0

これを解くと,他の解は x=3

 

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