高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの4(p.75,数学B,数研)

問題

{\Large 4}. 4\; \; \mathrm{A}(8,\; 2,\; -3),\;\; \mathrm{B}(1,\; 3,\; 2),\;\; \mathrm{C}(5,\; 1,\; 8),\;\; \mathrm{D}(3,\; -3,\; 6)\; を頂点とする四面体\; \mathrm{ABCD}\; がある。

(1) 辺\; \mathrm{CD}\; の中点を\; \mathrm{M}\; とするとき,\mathrm{BM}\perp \mathrm{CD}\; であることを示せ。

(2) \bigtriangleup \mathrm{BCD}\; の面積を求めよ。

(3) \mathrm{AB}\perp \mathrm{BC},\; \; \mathrm{AB}\perp \mathrm{BD}\; であることを示せ。

(4) 四面体\; \mathrm{ABCD}\; の体積を求めよ。

解答

(1) 辺\; \mathrm{CD}\; の中点\; \mathrm{M}\; の座標は \displaystyle \left( \frac{5+3}{2},\; \frac{1-3}{2},\; \frac{8+6}{2} \right)\; より (4,\; -1,\; 7)

\overrightarrow{\mathrm{BM}}=(4,\; -1,\; 7)-(1,\; 3,\; 2)=(3,\; -4,\; 5)

\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(3,\; -3,\; 6)-(5,\; 1,\; 8)=(-2,\; -4,\; -2)

よって \overrightarrow{\mathrm{BM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(3,\; -4,\; 5)\cdot (-2,\; -4,\; -2)=-6+16-10=0

ゆえに \mathrm{BM}\perp \mathrm{CD}\;

(2) \mathrm{BM} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{BM}} \Big|=\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2)}=5\sqrt{2}

\mathrm{CD} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{CD}} \Big|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-2)^2)}=2\sqrt{6}

よって,求める面積は

\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{BM}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{3}

(3) 

\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\; 3,\; 2)-(8,\; 2,\; -3)=(-7,\; 1,\; 5)

\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(5,\; 1,\; 8)-(1,\; 3,\; 2)=(4,\; -2,\; 6)

よって \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-7,\; 1,\; 5)\cdot (4,\; -2,\; 6)=-28-2+30=0

ゆえに \mathrm{AB}\perp \mathrm{BC}

また \overrightarrow{\mathrm{BD}}=(3,\; -3,\; 6)-(1,\; 3,\; 2)=(2,\; -6,\; 4)

よって \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-7,\; 1,\; 5)\cdot (2,\; -6,\; 4)=-14-6+20=0

ゆえに \mathrm{AB}\perp \mathrm{BD}\;

(4) \mathrm{AB} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \Big|=\sqrt{(-7)^2+1^2+5^2)}=5\sqrt{3}

(2),\; (3)\; より,四面体\; \mathrm{ABCD}\; は底面\; \bigtriangleup \mathrm{BCD}\; ,高さ\; \mathrm{AB}\; 三角錐だから,その体積は

\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \bigtriangleup \mathrm{BCD}\cdot \mathrm{AB}=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=50

 

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