演習問題Bの4（p.75，数学B，数研）

問題

${\Large 4}.$ 　 $4\;$ 点 $\; \mathrm{A}(8,\; 2,\; -3),\;\; \mathrm{B}(1,\; 3,\; 2),\;\; \mathrm{C}(5,\; 1,\; 8),\;\; \mathrm{D}(3,\; -3,\; 6)\;$ を頂点とする四面体 $\; \mathrm{ABCD}\;$ がある。

$(1)$ 　辺 $\; \mathrm{CD}\;$ の中点を $\; \mathrm{M}\;$ とするとき， $\mathrm{BM}\perp \mathrm{CD}\;$ であることを示せ。

$(2)$ 　 $\bigtriangleup \mathrm{BCD}\;$ の面積を求めよ。

$(3)$ 　 $\mathrm{AB}\perp \mathrm{BC},\; \; \mathrm{AB}\perp \mathrm{BD}\;$ であることを示せ。

$(4)$ 　四面体 $\; \mathrm{ABCD}\;$ の体積を求めよ。

解答

$(1)$ 　辺 $\; \mathrm{CD}\;$ の中点 $\; \mathrm{M}\;$ の座標は　 $\displaystyle \left( \frac{5+3}{2},\; \frac{1-3}{2},\; \frac{8+6}{2} \right)\;$ より　 $(4,\; -1,\; 7)$

$\overrightarrow{\mathrm{BM}}=(4,\; -1,\; 7)-(1,\; 3,\; 2)=(3,\; -4,\; 5)$

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(3,\; -3,\; 6)-(5,\; 1,\; 8)=(-2,\; -4,\; -2)$

よって　 $\overrightarrow{\mathrm{BM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(3,\; -4,\; 5)\cdot (-2,\; -4,\; -2)=-6+16-10=0$

ゆえに　 $\mathrm{BM}\perp \mathrm{CD}\;$

$(2)$ 　 $\mathrm{BM} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{BM}} \Big|=\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2)}=5\sqrt{2}$

$\mathrm{CD} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{CD}} \Big|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-2)^2)}=2\sqrt{6}$

よって，求める面積は

$\displaystyle \bigtriangleup \mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{BM}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{3}$

$(3)$ 　

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\; 3,\; 2)-(8,\; 2,\; -3)=(-7,\; 1,\; 5)$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(5,\; 1,\; 8)-(1,\; 3,\; 2)=(4,\; -2,\; 6)$

よって　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-7,\; 1,\; 5)\cdot (4,\; -2,\; 6)=-28-2+30=0$

ゆえに　 $\mathrm{AB}\perp \mathrm{BC}$

また　 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=(3,\; -3,\; 6)-(1,\; 3,\; 2)=(2,\; -6,\; 4)$

よって　 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-7,\; 1,\; 5)\cdot (2,\; -6,\; 4)=-14-6+20=0$

ゆえに　 $\mathrm{AB}\perp \mathrm{BD}\;$

$(4)$ 　 $\mathrm{AB} =\Big| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \Big|=\sqrt{(-7)^2+1^2+5^2)}=5\sqrt{3}$

$(2),\; (3)\;$ より，四面体 $\; \mathrm{ABCD}\;$ は底面 $\; \bigtriangleup \mathrm{BCD}\;$ ，高さ $\; \mathrm{AB}\;$ の三角錐だから，その体積は

$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \bigtriangleup \mathrm{BCD}\cdot \mathrm{AB}=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=50$

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