高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの5(p.75,数学B,数研)

問題

{\Large 5}. 2\; \; \mathrm{A}(-1,\; \; -5,\; \; 5),\;\; \mathrm{B}(2,\; \; 1,\; \; 2)\; \; xy\; 平面上の点\; \mathrm{P}\; が一直線上にあるとき,点\; \mathrm{P}\; の座標を求めよ。

解答

\; xy\; 平面上の点\; \mathrm{P}\; \; (x,\; \; y,\; \; 0)\; とする。

\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x,\; \; y,\; \; 0)-(-1,\; \; -5,\; \; 5)=(x+1,\; \; y+5,\; \; -5)

\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\; \; 1,\; \; 2)-(-1,\; \; -5,\; \; 5)=(3,\; \; 6,\; \; -3)

\overrightarrow{\mathrm{AP}}\neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{\mathrm{AB}}\neq \overrightarrow{0}\; で,3\; \; \mathrm{A},\; \mathrm{B},\; \mathrm{P}\; が一直線上にあるから,\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\; となる実数\; k\; がある。

よって (x+1,\; \; y+5,\; \; -5)=k(3,\; \; 6,\; \; -3)

だから (x+1,\; \; y+5,\; \; -5)=(3k,\; \; 6k,\; \; -3k)

ゆえに x+1=3k,\; \; y+5=6k,\; \; -5=-3k

これを解いて \displaystyle k=\frac{5}{3},\; \; x=4,\; \; y=5

したがって,点\; \mathrm{P}\; の座標は (4,\; \; 5,\; \; 0)

 

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