高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの6(p.75,数学B,数研)

問題

{\Large 6}. 四面体\; \mathrm{OABC}\; において,辺\; \mathrm{AB}\; \; 1:2\; に内分する点を\; \mathrm{D},線分\; \mathrm{CD}\; \; 3:5\; に内分する点を\; \mathrm{E},線分\; \mathrm{OE}\; \; 1:3\; に内分する点を\; \mathrm{F}\; とし,直線\; \mathrm{AF}\; と平面\; \mathrm{OBC}\; の交点を\; \mathrm{G}\; とする。このとき,\mathrm{AG}:\mathrm{FG}\; を求めよ。

解答

\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\; とすると, \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{1+2}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{5\overrightarrow{\mathrm{OC}}+3\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{3+5}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{8}\; ,  \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{1}{1+3}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32} 

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}-\overrightarrow{a}=\frac{-30\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}

 ここで,\mathrm{G}\; は直線\; \mathrm{AF}\; 上にあるから,  \overrightarrow{\mathrm{AG}}=k\overrightarrow{\mathrm{AF}}

となる実数\; k\; がある。よって,

   \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=k\frac{-30\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}=-\frac{15}{16}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{32}k\overrightarrow{b}+\frac{5}{32}k\overrightarrow{c}\; \; \cdots (1)

また,\mathrm{G}\; は平面\; \mathrm{OBC}\; 上にあるから,  \overrightarrow{\mathrm{OG}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}

となる実数\; s,\; t\; がある。ゆえに

   \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OG}}=-\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\; \; \cdots (2)

(1),\; (2)\; から \displaystyle -\frac{15}{16}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{32}k\overrightarrow{b}+\frac{5}{32}k\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}

4\; \; \mathrm{O,\; A,\; B,\; C}\; は同じ平面上にないから

     \displaystyle -\frac{15}{16}k=-1,\; \; \frac{1}{32}k=s,\; \; \frac{5}{32}k=t

これを解くと \displaystyle k=\frac{16}{15}

よって \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{16}{15}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\; より \overrightarrow{\mathrm{AG}}=16\overrightarrow{\mathrm{FG}}

ゆえに \mathrm{AG}:\mathrm{FG}=16:1

  

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