演習問題Bの6（p.75，数学B，数研）

問題

${\Large 6}.$ 　四面体 $\; \mathrm{OABC}\;$ において，辺 $\; \mathrm{AB}\;$ を $\; 1:2\;$ に内分する点を $\; \mathrm{D}$ ，線分 $\; \mathrm{CD}\;$ を $\; 3:5\;$ に内分する点を $\; \mathrm{E}$ ，線分 $\; \mathrm{OE}\;$ を $\; 1:3\;$ に内分する点を $\; \mathrm{F}\;$ とし，直線 $\; \mathrm{AF}\;$ と平面 $\; \mathrm{OBC}\;$ の交点を $\; \mathrm{G}\;$ とする。このとき， $\mathrm{AG}:\mathrm{FG}\;$ を求めよ。

解答

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\; \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\;$ とすると，　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{1+2}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{5\overrightarrow{\mathrm{OC}}+3\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{3+5}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{8}\;$ ，　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{1}{1+3}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}-\overrightarrow{a}=\frac{-30\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}$

ここで， $\mathrm{G}\;$ は直線 $\; \mathrm{AF}\;$ 上にあるから，　　 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=k\overrightarrow{\mathrm{AF}}$

となる実数 $\; k\;$ がある。よって，

　　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=k\frac{-30\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}}{32}=-\frac{15}{16}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{32}k\overrightarrow{b}+\frac{5}{32}k\overrightarrow{c}\; \; \cdots (1)$

また， $\mathrm{G}\;$ は平面 $\; \mathrm{OBC}\;$ 上にあるから，　　 $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$

となる実数 $\; s,\; t\;$ がある。ゆえに

　　　 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OG}}=-\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\; \; \cdots (2)$

$(1),\; (2)\;$ から　 $\displaystyle -\frac{15}{16}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{32}k\overrightarrow{b}+\frac{5}{32}k\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$

$4\;$ 点 $\; \mathrm{O,\; A,\; B,\; C}\;$ は同じ平面上にないから

　　　　　 $\displaystyle -\frac{15}{16}k=-1,\; \; \frac{1}{32}k=s,\; \; \frac{5}{32}k=t$

これを解くと　 $\displaystyle k=\frac{16}{15}$

よって　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{16}{15}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\;$ より　 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=16\overrightarrow{\mathrm{FG}}$