高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの10(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 10}. 原点\; \mathrm{O}\; \; 1\; つの頂点とする平行四辺形\; \mathrm{OABC}\; があり,直線\; \mathrm{AB}\; \; 4x-y-14=0\; ,直線\; \mathrm{BC}\; \; x-2y+7=0\; で表されている。このとき,平行四辺形\; \mathrm{OABC}\; の面積を求めよ。

解答

   4x-y-14=0\; \; \cdots (1)   \; x-2y+7=0\; \; \cdots (2)

とする。\mathrm{B}\; \; (1),\; (2)\; の交点で,これらを連立して解くと,その座標は \mathrm{B}(5,\; \; 6)

また,\mathrm{O}\; を通り,(2)\; に平行な直線の方程式は

   x-2y=0\; \; \cdots (3)

となる。\mathrm{A}\; \; (1),\; (3)\; の交点で,これらを連立して解くと,その座標は \mathrm{A}(4,\; \; 2)

次に,\mathrm{O}\; から\; (1)\; までの距離は

   \displaystyle \frac{|4\cdot 0-0-14|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{14}{\sqrt{17}}

さらに,辺\; \mathrm{AB}\; の長さは

   \sqrt{(5-4)^2+(6-2)^2}=\sqrt{17}

よって,平行四辺形\; \mathrm{OABC}\; の面積は

   平行四辺形\displaystyle \; \mathrm{OABC}=2\cdot \bigtriangleup \mathrm{OAB}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \frac{14}{\sqrt{17}}=14

 

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