高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いています。簡潔で分かりやすい解答、模範解答を目指します。

演習問題Bの10（p.110，数学Ⅱ，数研）

数学Ⅱ　数研教科書

問題

${\Large 10}.$ 　原点 $\; \mathrm{O}\;$ を $\; 1\;$ つの頂点とする平行四辺形 $\; \mathrm{OABC}\;$ があり，直線 $\; \mathrm{AB}\;$ は $\; 4x-y-14=0\;$ ，直線 $\; \mathrm{BC}\;$ は $\; x-2y+7=0\;$ で表されている。このとき，平行四辺形 $\; \mathrm{OABC}\;$ の面積を求めよ。

解答

　　　 $4x-y-14=0\; \; \cdots (1)$ 　　　 $\; x-2y+7=0\; \; \cdots (2)$

とする。 $\mathrm{B}\;$ は $\; (1),\; (2)\;$ の交点で，これらを連立して解くと，その座標は　 $\mathrm{B}(5,\; \; 6)$

また， $\mathrm{O}\;$ を通り， $(2)\;$ に平行な直線の方程式は

　　　 $x-2y=0\; \; \cdots (3)$

となる。 $\mathrm{A}\;$ は $\; (1),\; (3)\;$ の交点で，これらを連立して解くと，その座標は　 $\mathrm{A}(4,\; \; 2)$

次に， $\mathrm{O}\;$ から $\; (1)\;$ までの距離は

　　　 $\displaystyle \frac{|4\cdot 0-0-14|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{14}{\sqrt{17}}$

さらに，辺 $\; \mathrm{AB}\;$ の長さは

　　　 $\sqrt{(5-4)^2+(6-2)^2}=\sqrt{17}$

よって，平行四辺形 $\; \mathrm{OABC}\;$ の面積は

　　　平行四辺形 $\displaystyle \; \mathrm{OABC}=2\cdot \bigtriangleup \mathrm{OAB}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \frac{14}{\sqrt{17}}=14$

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