高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの9(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 9}. 3\; 直線\; x+2y=1,\; \; 3x-4y=1,\; \; ax+by=1\; \; 1\; 点で交わるならば,3\; \;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\; は,一直線上にあることを証明せよ。

解答

x+2y=1\; \; \cdots (1)  3x-4y=1\; \; \cdots (2)  ax+by=1\; \; \cdots (3)

とする。(1),\; (2)\; を連立して解くと,2\; 直線の交点は \displaystyle \left( \frac{3}{5},\; \; \frac{1}{5}\right)

この交点は直線\; (3)\; 上にあるから

   \displaystyle \frac{3}{5}a+\frac{1}{5}b=1 より 3a+b=5\; \; \cdots (4)

また,2\; \;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4)\; を通る直線の方程式は

   \displaystyle y-2=\frac{-4-2}{3-1}(x-1) すなわち 3x+y=5

(4)\; より,点\; (a,\; \; b)\; は直線\; 3x+y=5\; 上にある。

よって,3\; \;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\; は,一直線上にある。  (終)

別解

3\; 直線が\; 1\; \;(p,\; \; q)\; で交わるとすると

   p+2q=1,\; \; 3p-4q=1,\; \; ap+bq=1

すなわち \; p\cdot 1+q\cdot 2=1,\; \; p\cdot 3+q\cdot (-4)=1,\; \; p\cdot a+q\cdot b=1

したがって,3\; \;(1,\; \; 2),\; \; (3,\; \; -4),\; \; (a,\; \; b)\; は,直線px+qy=1\; 上にある。   (終)

  

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