高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの13(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 13}. 次の問いに答えよ。

(1) 直線\; y=2x\; に関して,点\; \mathrm{Q}(s,\; \; t)\; と対称な点\; \mathrm{P}\; の座標を求めよ。

(2) (1)\; において,点\; \mathrm{Q}\; が直線\; x+y=2\; 上を動くとき,点\; \mathrm{P}\; の軌跡を求めよ。

解答

(1) 直線\; y=2x\; \; l\; とし,点\; \mathrm{P}\; の座標を\; (x,\; \; y)\; とする。

直線\; \mathrm{PQ}\; \; l\; に垂直であるから

     \displaystyle \frac{y-t}{x-s}\cdot 2=-1

ゆえに x+2y=s+2t\; \; \cdots (A)

また,線分\; \mathrm{PQ}\; の中点\; \displaystyle \left( \frac{x+s}{2},\; \; \frac{y+t}{2}\right) \; \; l\; 上にあるから

     \displaystyle \frac{y+t}{2}=2\cdot \frac{x+s}{2}

ゆえに 2x-y=-2s+t\; \; \cdots (B)

(A),\; (B)\; を連立して\; x,\; y\; について解くと \displaystyle x=\frac{-3s+4t}{5},\; \; y=\frac{4s+3t}{5}

したがって,点\; \mathrm{P}\; の座標は \; \displaystyle \left( \frac{-3s+4t}{5},\; \; \frac{4s+3t}{5}\right) \;

(2) (A),\; (B)\; を連立して\; s,\; t\; について解くと \displaystyle s=\frac{-3x+4y}{5},\; \; t=\frac{4x+3y}{5}

\mathrm{Q}(s,\; \; t)\; が直線\; x+y=2\; 上を動くから,これに代入して

     \displaystyle \frac{-3x+4y}{5}+\frac{4x+3y}{5}=2

よって,求める軌跡は,直線\; x+7y-10=0である。

 

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