高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの14(p.110,数学Ⅱ,数研)

問題

{\Large 14}. ある工場では製品\; \mathrm{X,\; Y}\; を製造している。それらを製造するには原料\; \mathrm{a,\; b}\; が必要で,\mathrm{X,\; Y}\; \; 1\; \mathrm{kg}\; 製造するために必要な原料の量と,原料の在庫量は次の表の通りである。また,\mathrm{X,\; Y}\; 1\; \mathrm{kg}\; あたりの利益は,それぞれ\; 1\; 万円,\; 2\; 万円である。原料の在庫量の範囲で,最大の利益を得るには,\mathrm{X,\; Y}\; をそれぞれ何\; \mathrm{kg}\; 製造すればよいか。

  原料\mathrm{a} 原料\mathrm{b}
\; \mathrm{X} 10\; \mathrm{kg} 20\; \mathrm{kg}
\; \mathrm{Y} 30\; \mathrm{kg} 20\; \mathrm{kg}
在庫 300\; \mathrm{kg} 400\; \mathrm{kg}

解答

\mathrm{X}\; \; x\; \mathrm{kg}\; \mathrm{Y}\; \; y\; \mathrm{kg}\; 作るとすると

     x\geqq 0,\; \; y\geqq 0\; \; \cdots(1)

このとき使う原料は,\mathrm{a}\; \; 10x+30y\; (\mathrm{kg})\; \mathrm{b}\; \; 20x+20y\; (\mathrm{kg})\; である。その在庫量より

     \; 10x+30y\leqq 300,\; \; 20x+20y\leqq 400\; \; \cdots(2)

この条件のもとで,利益\; x+2y\; (万円)を最大にする\; x,\; y\; の値を求める。

(1),\; (2)\; の連立不等式の表す領域を\; D\; とすると,領域\; D\; \; 4\; \; (0,\; \; 0),\; \; (20,\; \; 0),\; \; (15,\; \; 5),\; \; (0,\; \; 10)\; を頂点とする四角形の周および内部である。

     x+2y=k\; \; \cdots(3)

とおくと,これは傾きが\displaystyle \; -\frac{1}{2}\; y\; 切片が\displaystyle \; \frac{k}{2}\; の直線を表す。

ここで,直線\; 10x+30y=300,\; \; 20x+20y=400\; の傾きは、それぞれ\displaystyle \; -\frac{1}{3},\; -1\; で,くらべると \displaystyle \; -1\lt -\frac{1}{2}\lt -\frac{1}{3}\; となるから,領域\; D\; においては,直線\; (3)\; が点\; (15,\; \; 5)\; を通るとき\; k\; の値が最大となる。

よって,最大の利益を得るには,\mathrm{X}\; \; 15\mathrm{kg}\; \mathrm{Y}\; \; 5\mathrm{kg}\; 製造すればよい。

 

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