高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの5(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 5}. y=\sqrt{x+1}\; のグラフと\; y=x+k\; のグラフが\; 2\; つの共有点をもつような定数\; k\; の値の範囲を求めよ。

解答

y=\sqrt{x+1}\; の定義域は x\geqq -1\; ,値域は y\geqq 0\; である。

グラフは,y=\sqrt{x}\; のグラフを\; x\; 軸方向に\; -1\; だけ平行移動したものである。

これを\; y=x+k\; と連立して解くと

     \; \sqrt{x+1}=x+k\; \; \cdots (1)

両辺を\; 2\; 乗して整理すると

     \; x^2+(2k-1)x+k^2-1=0\; \; \cdots (2)

この\; 2\; 次方程式の判別式を\; \mathrm{D}\; とすると

     \; \mathrm{D}=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5

2\; つのグラフが接するとき,\mathrm{D}=0\; だから

     -4k+5=0 すなわち \displaystyle k=\frac{5}{4}

このとき,(2)\; の解は,\; \displaystyle x=-\frac{3}{4}\; で,これは(1)\; を満たす。

また,y=x+k\; のグラフが点\; (-1,\; \; 0)\; を通るとき,(1)\; に代入して

     0=-1+k すなわち k=1

よって,異なる\; 2\; つの共有点をもつのは

     \displaystyle 1\leqq k\lt \frac{5}{4}

 

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