演習問題Bの5(p.82,数学Ⅲ,数研)
問題
放物線
について,次の問いに答えよ。
傾きが
である接線の方程式を求めよ。ただし,
とする。
直交する
つの接線の交点
の軌跡を求めよ。
解答
傾きが
である直線の方程式を
とする。これをに代入すると
整理すると
だから,この
次方程式の判別式を
とすると
直線が放物線に接するための条件は,であるから
放物線だから,また
より
よって,接線の方程式は
傾きが
である直線に直交する接線の傾きは
であるから,その方程式は
の結果を利用して
直交するつの接線の交点
の座標は,
つを連立して解くと
整理して
より
これをに代入して
ゆえに
このとき,放物線の接線の傾き
は,
となるすべての実数をとるから,交点
の
座標は常に
(定数)で,
座標はすべての実数となる。
よって,求める交点の軌跡は,直線
である。
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