高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの5（p.82，数学Ⅲ，数研）

問題

${\Large 5}.$ 　放物線 $\; y^2=4px\;$ について，次の問いに答えよ。

$(1)$ 　傾きが $\; m\;$ である接線の方程式を求めよ。ただし， $m\neq 0\;$ とする。

$(2)$ 　直交する $\; 2\;$ つの接線の交点 $\; \mathrm{P}\;$ の軌跡を求めよ。

解答

$(1)$ 　傾きが $\; m\;$ である直線の方程式を

　　　　　 $y=mx+k$

とする。これを $\; y^2=4px\;$ に代入すると

　　　　　 $(mx+k)^2=4px$

整理すると　 $m^2x^2+2(mk-2p)x+k^2=0$

$m\neq 0\;$ だから，この $\; 2\;$ 次方程式の判別式を $\; \mathrm{D}\;$ とすると

　　　　　 $\displaystyle \frac{D}{4}=(mk-2p)^2-m^2k^2=-4p(mk-p)$

直線が放物線に接するための条件は， $\mathrm{D}=0\;$ であるから

　　　　　 $-4p(mk-p)=0$

放物線だから $\; p\neq 0\;$ ，また $\; m\neq 0\;$ より　 $\displaystyle k=\frac{p}{m}$

よって，接線の方程式は　 $\displaystyle y=mx+\frac{p}{m}$

$(2)$ 　傾きが $\; m\;$ である直線に直交する接線の傾きは　 $\displaystyle -\frac{1}{m}\;$ であるから，その方程式は $\; (1)\;$ の結果を利用して

　　　　　 $\displaystyle y=-\frac{1}{m}x-mp$

直交する $\; 2\;$ つの接線の交点 $\; \mathrm{P}\;$ の座標は， $\; 2\;$ つを連立して解くと

　　　　　 $\displaystyle mx+\frac{p}{m}=-\frac{1}{m}x-mp$

整理して　 $(m^2+1)(x+p)=0$

$m^2+1\gt 0\;$ より　 $x=-p$

これを $\displaystyle \; y=mx+\frac{p}{m}\;$ に代入して　 $\displaystyle y=-mp+\frac{p}{m}$

ゆえに　 $\displaystyle y=-\left( m-\frac{1}{m}\right) p$

このとき，放物線 $\; y^2=4px\;$ の接線の傾き $\; m\;$ は， $m\neq 0\;$ となるすべての実数をとるから，交点 $\; \mathrm{P}\;$ の $\; x\;$ 座標は常に $\; x=-p\;$ （定数）で， $y\;$ 座標はすべての実数となる。

よって，求める交点 $\; \mathrm{P}\;$ の軌跡は，直線 $\; x=-p\;$ である。

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