高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの5(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 5}. 放物線\; y^2=4px\; について,次の問いに答えよ。

(1) 傾きが\; m\; である接線の方程式を求めよ。ただし,m\neq 0\; とする。

(2) 直交する\; 2\; つの接線の交点\; \mathrm{P}\; の軌跡を求めよ。

解答

(1) 傾きが\; m\; である直線の方程式を

     y=mx+k

とする。これを\; y^2=4px\; に代入すると

     (mx+k)^2=4px

整理すると m^2x^2+2(mk-2p)x+k^2=0

m\neq 0\; だから,この\; 2\; 次方程式の判別式を\; \mathrm{D}\; とすると

     \displaystyle \frac{D}{4}=(mk-2p)^2-m^2k^2=-4p(mk-p)

直線が放物線に接するための条件は,\mathrm{D}=0\; であるから

     -4p(mk-p)=0

放物線だから\; p\neq 0\; ,また\; m\neq 0\; より \displaystyle k=\frac{p}{m}

よって,接線の方程式は \displaystyle y=mx+\frac{p}{m}

(2) 傾きが\; m\; である直線に直交する接線の傾きは \displaystyle -\frac{1}{m}\; であるから,その方程式は\; (1)\; の結果を利用して

     \displaystyle y=-\frac{1}{m}x-mp

直交する\; 2\; つの接線の交点\; \mathrm{P}\; の座標は,\; 2\; つを連立して解くと

     \displaystyle mx+\frac{p}{m}=-\frac{1}{m}x-mp

整理して (m^2+1)(x+p)=0

m^2+1\gt 0\; より x=-p

これを\displaystyle \; y=mx+\frac{p}{m}\; に代入して \displaystyle y=-mp+\frac{p}{m}

ゆえに \displaystyle y=-\left( m-\frac{1}{m}\right) p

このとき,放物線\; y^2=4px\; の接線の傾き\; m\; は,m\neq 0\; となるすべての実数をとるから,交点\; \mathrm{P}\; \; x\; 座標は常に\; x=-p\; (定数)で,y\; 座標はすべての実数となる。

よって,求める交点\; \mathrm{P}\; の軌跡は,直線\; x=-p\; である。

 

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