高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの6(p.82,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 6}. a\gt 0\; とする。2\; 定点\; \mathrm{A}(-a,\; \; 0),\; \; \mathrm{B}(a,\; \; 0)\; からの距離の積が\; a^2\; に等しい点\; \mathrm{P}\; の軌跡をレムニスケートという。

(1) レムニスケートの方程式は,次の式で与えられることを示せ。

     (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)

(2) レムニスケートの極方程式を求め,a=1\; のときの概形をコンピュータで描け。

解答

(1) 点\; \mathrm{P}\; の座標を\; (x,\; \; y)\; とする。

\mathrm{P}\; の満たす条件は \mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}=a^2

すなわち \mathrm{AP}^2\cdot \mathrm{BP}^2=a^4

\mathrm{AP}^2=(x+a)^2+y^2,\; \; \mathrm{BP}^2=(x-a)^2+y^2\; を代入すると

     \{(x+a)^2+y^2\}\{(x-a)^2+y^2\}=a^4

展開すると (x+a)^2(x-a)^2+\{(x+a)^2+(x-a)^2\}y^2+y^4=a^4

計算すると (x^2-a^2)^2+(2x^2+2a^2)y^2+y^4=a^4

整理すると x^4+2x^2y^2+y^4=2a^2x^2-2a^2y^2

よって   (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)

(2) 

(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\; \; x=r\cos \theta ,\; y=r\sin \theta \; を代入すると

     (r^2\cos ^2\theta +r^2\sin ^2\theta )^2=2a^2(r^2\cos ^2\theta -r^2\sin ^2\theta )

整理すると \{r^2(\cos ^2\theta +\sin ^2\theta )\}^2=2a^2r^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta )

変形すると r^4=2a^2r^2\cos 2\theta 

r\neq 0\; とすると r^2=2a^2\cos 2\theta  これは\; r=0\; を満たす。

したがって,レムニスケートの極方程式は r^2=2a^2\cos 2\theta  である。

この極方程式が表す曲線の概形∞は省略。

 

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