高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

演習問題Bの7(p.100,数学Ⅲ,数研)

問題

{\Large 7}. a,\; b,\; p,\; q,\; r\; は定数で,a\neq 0,\; \; p\neq 0\; とする。2\; つの関数\; f(x)=ax+b,\; \; g(x)=px^2+qx+r\; について,合成関数\; (f\circ g)(x)\; \; (g\circ f)(x)\; が一致するとき,a,\; b,\; p,\; q,\; r\; の満たすべき条件を求めよ。

解答

(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)\; のとき f(g(x))=g(f(x))

よって a(px^2+qx+r)+b=p(ax+b)^2+q(ax+b)+r

ゆえに apx^2+aqx+ar+b=a^2px^2+(2abp+aq)x+b^2p+bq+r

これが\; x\; についての恒等式であるから

ap=a^2p\; \; \cdots(1)  aq=2abp+aq\; \; \cdots(2)  ar+b=b^2p+bq+r\; \; \cdots(3)

(1)\; より ap(a-1)=0

a\neq 0,\; \; p\neq 0\; だから a=1

(2)\; より abp=0

a\neq 0,\; \; p\neq 0\; だから b=0

(3)\; より (a-1)r=b(bp+q-1)

a=1,\;\; b=0\; のとき p(\neq 0),\; q,\; r\; は任意の実数で成り立つ。

したがって,求める条件は a=1,\;\; b=0

 

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