高校数学の解き方

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数学(理系)の第1問（2018京都大学入試）

京都大学入試

問題

　　　　　　　　　　第　1　問

　0\; でない実数\; a,\, b,\, c\; は次の条件(\mathrm{i})と(\mathrm{ii})を満たしながら動くものとする。

(\mathrm{i})　1+c^2 \leqq 2a

(\mathrm{ii})　2\; つの放物線\; C_1:y=ax^2\; と\; C_2:y=b(x-1)^2+c\; は接している。

ただし、2\; つの曲線が接するとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。

(1)　C_1\; と\; C_2\; の接点の座標を\; a\; と\; c\; を用いて表せ。

(2)　C_1\; と\; C_2\; の接点が動く範囲を求め、その範囲を図示せよ。

解答

(1)　接点をc、その\; x\; 座標を\; t\; とすると、\mathrm{P}\; は\; C_1\; 上の点だから、\mathrm{P}\; (t,\; \; at^2)\; となる。\mathrm{P}\; は\; C_2\; 上の点でもあるから

　　　at^2=b(t-1)^2+c \; \cdots \; (ア)

また、点\; \mathrm{P}\; における接線の傾きは等しいから

　　　at=b(t-1) \; \cdots \; (イ)

(イ)を(ア)に代入して　\; at^2=at(t-1)+c

よって　\displaystyle \; at=c \; で　a\neq 0\; だから　\displaystyle \; t=\frac{c}{a}

ゆえに、接点の座標は　\displaystyle \; \Bigl(\frac{c}{a} ,\; \; \frac{c^2}{a} \Bigr)

\displaystyle (2)　x=\frac{c}{a} ,\;y=\frac{c^2}{a}\; とする。c\neq 0\; より　\; x\neq 0

また　a\neq 0 ,\; b\neq 0\; より　(イ)から　\; t\neq 1\; 　よって　\; x\neq 1

\displaystyle a=\frac{y}{x^2},\; c= \frac{y}{x}\; だから　\; (\mathrm{i})\; に代入して　\displaystyle 1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\leqq \frac{2y}{x^2}\;

よって　　　　　　\; x^2+(y-1)^2\leqq 1

これを図示すると、中心\; (0,\; \; 1)\; 、半径\; 1\; の円の内部および周上で、(0,\; \; 0),\; (0,\; \; 2),\; (1,\; \; 0)\; を除く。（図は省略）


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