高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第1問(2018京都大学入試)

問題

          第 1 問

 0\; でない実数\; a,\, b,\, c\; は次の条件(\mathrm{i})(\mathrm{ii})を満たしながら動くものとする。

(\mathrm{i}) 1+c^2 \leqq 2a

(\mathrm{ii}) 2\; つの放物線\; C_1:y=ax^2\; \; C_2:y=b(x-1)^2+c\; は接している。

ただし、2\; つの曲線が接するとは、ある共有点において共通の接線をもつことであり、その共有点を接点という。

(1) C_1\; \; C_2\; の接点の座標を\; a\; \; c\; を用いて表せ。

(2) C_1\; \; C_2\; の接点が動く範囲を求め、その範囲を図示せよ。

解答

(1) 接点をc、その\; x\; 座標を\; t\; とすると、\mathrm{P}\; \; C_1\; 上の点だから、\mathrm{P}\; (t,\; \; at^2)\; となる。\mathrm{P}\; \; C_2\; 上の点でもあるから

   at^2=b(t-1)^2+c \; \cdots \; (ア)

また、点\; \mathrm{P}\; における接線の傾きは等しいから

   at=b(t-1) \; \cdots \; (イ)

(イ)を(ア)に代入して \; at^2=at(t-1)+c

よって \displaystyle \; at=c \; で a\neq 0\; だから \displaystyle \; t=\frac{c}{a}

ゆえに、接点の座標は \displaystyle \; \Bigl(\frac{c}{a} ,\; \; \frac{c^2}{a} \Bigr)

\displaystyle (2) x=\frac{c}{a} ,\;y=\frac{c^2}{a}\; とする。c\neq 0\; より \; x\neq 0

また a\neq 0 ,\; b\neq 0\; より (イ)から \; t\neq 1\;  よって \; x\neq 1

\displaystyle a=\frac{y}{x^2},\; c= \frac{y}{x}\; だから \; (\mathrm{i})\; に代入して \displaystyle 1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2\leqq \frac{2y}{x^2}\;

よって      \; x^2+(y-1)^2\leqq 1

これを図示すると、中心\; (0,\; \; 1)\; 、半径\; 1\; の円の内部および周上で、(0,\; \; 0),\; (0,\; \; 2),\; (1,\; \; 0)\; を除く。(図は省略)


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