高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第3問(2018京都大学入試)

問題

          第 3 問

 \alpha \; \displaystyle \; 0 \lt \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \; を満たす定数とし、四角形\; \mathrm{ABCD}\; に関する次の\; 2\; つの条件を考える。

(\mathrm{i})  四角形\; \mathrm{ABCD}\; は半径\; 1 \; の円に内接する。

(\mathrm{ii})  \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DAB}=\alpha \;

 条件(\mathrm{i}) \; (\mathrm{ii}) \; を満たす四角形のなかで、4\; 辺の長さの積

     k=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{DA}

が最大となるものについて、k\; の値を求めよ。

解答

\angle \mathrm{ABD}=\theta \; とすると、0 \lt \theta \lt \alpha \; で \bigtriangleup \mathrm{ABD} \; で正弦定理より

     \displaystyle \frac{\mathrm{DA}}{\sin \theta }=\frac{\mathrm{AB}}{\sin \{ \pi -(\alpha +\theta )\} }=2

よって \mathrm{DA}=2\sin \theta ,\; \; \mathrm{AB}=2\sin \{ \pi -(\alpha +\theta )\} =2\sin (\alpha +\theta )

また、\angle \mathrm{CBD}=\alpha -\theta ,\; \; \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{BAC}=\alpha -\angle \mathrm{CAD} =\alpha -\angle \mathrm{CBD}=\alpha -(\alpha -\theta )=\theta \; で \bigtriangleup \mathrm{BCD} \; で正弦定理より

     \displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \theta }=\frac{\mathrm{CD}}{\sin (\alpha -\theta )}=2

よって \mathrm{BC}=2\sin \theta ,\; \; \mathrm{CD}=2\sin (\alpha -\theta )

k=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}

 =2\sin (\alpha +\theta )\cdot 2\sin \theta \cdot 2\sin (\alpha -\theta ) \cdot 2\sin \theta

 =16\sin^2 \theta (\sin^2 \alpha \cos^2 \theta -\cos^2 \alpha \sin^2 \theta )

 =16\sin^2 \theta (\sin^2 \alpha -\sin^2 \theta )

 \displaystyle =-16\Bigl( \sin^2 \theta -\frac{1}{2} \sin^2 \alpha \Bigr)^2+4\sin^4 \alpha

\displaystyle 0 \lt \theta \lt \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \; のとき 0 \lt \sin^2 \theta \lt \sin^2 \alpha \leqq 1 \; だから

\displaystyle \sin^2 \theta =\frac{1}{2} \sin^2 \alpha \; のとき、k \; は最大となり、最大値は\; 4\sin^4 \alpha

また \sin \theta \gt 0,\; \; \sin \alpha \gt 0 \; だから \displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2 } } \sin \alpha \; で \displaystyle \frac{\mathrm{DA}}{2} =\frac{1}{\sqrt{2 } } \cdot \frac{\mathrm{BD}}{2} \; より \mathrm{DA}:\mathrm{BD}=1:\sqrt{2 }

 

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