数学(理系)の第3問（2018京都大学入試）

問題

　　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　 $\alpha \;$ は $\displaystyle \; 0 \lt \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \;$ を満たす定数とし、四角形 $\; \mathrm{ABCD}\;$ に関する次の $\; 2\;$ つの条件を考える。

$(\mathrm{i})$ 　四角形 $\; \mathrm{ABCD}\;$ は半径 $\; 1 \;$ の円に内接する。

$(\mathrm{ii}) 　\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DAB}=\alpha \;$

　条件 $(\mathrm{i}) \;$ と $(\mathrm{ii}) \;$ を満たす四角形のなかで、 $4\;$ 辺の長さの積

　　　　　 $k=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{DA}$

が最大となるものについて、 $k\;$ の値を求めよ。

解答

$\angle \mathrm{ABD}=\theta \;$ とすると、 $0 \lt \theta \lt \alpha \;$ で　 $\bigtriangleup \mathrm{ABD} \;$ で正弦定理より

　　　　　 $\displaystyle \frac{\mathrm{DA}}{\sin \theta }=\frac{\mathrm{AB}}{\sin \{ \pi -(\alpha +\theta )\} }=2$

よって　 $\mathrm{DA}=2\sin \theta ,\; \; \mathrm{AB}=2\sin \{ \pi -(\alpha +\theta )\} =2\sin (\alpha +\theta )$

また、 $\angle \mathrm{CBD}=\alpha -\theta ,\; \; \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{BAC}=\alpha -\angle \mathrm{CAD} =\alpha -\angle \mathrm{CBD}=\alpha -(\alpha -\theta )=\theta \;$ で　 $\bigtriangleup \mathrm{BCD} \;$ で正弦定理より

　　　　　 $\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\sin \theta }=\frac{\mathrm{CD}}{\sin (\alpha -\theta )}=2$

よって　 $\mathrm{BC}=2\sin \theta ,\; \; \mathrm{CD}=2\sin (\alpha -\theta )$

$k=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}$

　 $=2\sin (\alpha +\theta )\cdot 2\sin \theta \cdot 2\sin (\alpha -\theta ) \cdot 2\sin \theta$

　 $=16\sin^2 \theta (\sin^2 \alpha \cos^2 \theta -\cos^2 \alpha \sin^2 \theta )$

　 $=16\sin^2 \theta (\sin^2 \alpha -\sin^2 \theta )$

　 $\displaystyle =-16\Bigl( \sin^2 \theta -\frac{1}{2} \sin^2 \alpha \Bigr)^2+4\sin^4 \alpha$

$\displaystyle 0 \lt \theta \lt \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \;$ のとき　 $0 \lt \sin^2 \theta \lt \sin^2 \alpha \leqq 1 \;$ だから

$\displaystyle \sin^2 \theta =\frac{1}{2} \sin^2 \alpha \;$ のとき、 $k \;$ は最大となり、最大値は $\; 4\sin^4 \alpha$

また　 $\sin \theta \gt 0,\; \; \sin \alpha \gt 0 \;$ だから　 $\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2 } } \sin \alpha \;$ で　 $\displaystyle \frac{\mathrm{DA}}{2} =\frac{1}{\sqrt{2 } } \cdot \frac{\mathrm{BD}}{2} \;$ より　 $\mathrm{DA}:\mathrm{BD}=1:\sqrt{2 }$