高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第6問(2018京都大学入試)

問題

          第 6 問

 四面体\; \mathrm{ABCD} \; \; \mathrm{AB} = \mathrm{BD},\; \mathrm{AD} = \mathrm{BC} \; を満たすとし、辺\; \mathrm{AB}\; の中点を\; \mathrm{P}, \; \; \mathrm{CD} \; の中点を\; \mathrm{Q} \; とする。

(1)  辺\; \mathrm{AB}\; と線分\; \mathrm{PQ}\; は垂直であることを示せ。

(2)  線分\; \mathrm{PQ}\; を含む平面\; \alpha \; で四面体\; \mathrm{ABCD}\; を切って\; 2 \; つの部分に分ける。このとき、2 \; つの部分の体積は等しいことを示せ。

解答

(1) \mathrm{AC}=\mathrm{BD} \; だから \big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{BD} } \big|^2 \; で \big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }-\overrightarrow{\mathrm{AB} } \big|^2 \; より

  \big|\overrightarrow{\mathrm{AC} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-2\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2\cdots (ア)

\mathrm{AD}=\mathrm{BC} \; だから \big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{BC} } \big|^2 \; で \big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }-\overrightarrow{\mathrm{AB} } \big|^2 \; より

  \big|\overrightarrow{\mathrm{AD} } \big|^2=\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2-2\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2\cdots (イ)

(ア)\; + \; (イ)より \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } -\big|\overrightarrow{\mathrm{AB} }\big|^2 =0 \cdots (ウ)

  \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ} } =\overrightarrow{\mathrm{AQ} }-\overrightarrow{\mathrm{AP} }=\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr) \; だから

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr) =\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } -|\overrightarrow{\mathrm{AB} }|^2\Bigr)

(ウ)より \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=0 \; だから \mathrm{AB}\perp \mathrm{PQ} \;

(2) (ア)\; - \; (イ)より

  \overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2 =0 \cdots (エ)

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=\Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AD} }-\overrightarrow{\mathrm{AC} } \Bigr) \cdot \frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AC} } +\overrightarrow{\mathrm{AD} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr)=\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC} } -\overrightarrow{\mathrm{AB} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD} } +\big|\overrightarrow{\mathrm{AD} }\big|^2-\big|\overrightarrow{\mathrm{AC} }\big|^2 \Bigr)

(エ)より \overrightarrow{\mathrm{CD} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ} }=0 \; だから \mathrm{CD}\perp \mathrm{PQ} \;

ここで線分\; \mathrm{PQ}\; に垂直な平面\; \beta \; で四面体\; \mathrm{ABCD}\; を切る。その切断面と辺\; \mathrm{AC},\; \mathrm{AD},\; \mathrm{BD},\; \mathrm{BC} \; との交点をそれぞれ\; \mathrm{S},\; \mathrm{T},\; \mathrm{U},\; \mathrm{V}\; とする。

直線\; \mathrm{AB}\; \; \mathrm{SV}\; は面\; \mathrm{ABC}\; 上にあり、いずれも線分\; \mathrm{PQ}\; と垂直だから \mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{SV} 同様にして \mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{TU}  よって \mathrm{SV}/\!\!/ \mathrm{TU}

直線\; \mathrm{CD}\; \; \mathrm{ST}\; は面\; \mathrm{ACD}\; 上にあり、いずれも線分\; \mathrm{PQ}\; と垂直だから \mathrm{CD}/\!\!/ \mathrm{ST} 同様にして  \mathrm{CD}/\!\!/ \mathrm{VU} よって \mathrm{ST}/\!\!/ \mathrm{VU}

したがって、四角形\; \mathrm{STUV}\; は平行四辺形である。

また、\bigtriangleup \mathrm{ABC}\; で、\mathrm{AB}/\!\!/ \mathrm{SV}\; だから \mathrm{AS}:\mathrm{SC}=\mathrm{BV}:\mathrm{VC}=k:(1-k),\; 0\leqq k\leqq 1\; とできる。 \bigtriangleup \mathrm{ACD}\; も同様にして、\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=\mathrm{AT}:\mathrm{TD}=k:(1-k),\; 0\leqq k\leqq 1\; とできる。

平行四辺形\; \mathrm{STU}V\; の対角線の交点を\; \mathrm{R}\; とすると、

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AR} } =\frac{1}{2} \Bigl(\overrightarrow{\mathrm{AT} }+\overrightarrow{\mathrm{AV} }\Bigr)=\frac{1}{2} \Bigl\{k\overrightarrow{\mathrm{AD} } +k\overrightarrow{\mathrm{AC} } +(1-k)\overrightarrow{\mathrm{AB} }\Bigr\}=k\cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC} }+\overrightarrow{\mathrm{AD} }}{2} +(1-k)\cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB} }

=k\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ} } +(1-k)\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP} }

よって、点\; \mathrm{R}\; は線分\; \mathrm{PQ}\; 上にある。

以上より、線分\; \mathrm{PQ}\; を含む平面\; \alpha \; は、平行四辺形\; \mathrm{STUV}\; の対角線の交点\; \mathrm{R}\; を通るから、その面積を二等分する。

0\leqq k\leqq 1\; のすべての\; k\; についてこれが成り立つから、平面\; \alpha \; は四面体\; \mathrm{ABCD}\; の体積を二等分する。

 

ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)