高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第1問(2018東京大学入試)

         第 1 問

 関数

         \displaystyle f(x)=\frac{x}{\sin x} +\cos x \qquad (0 \lt x \lt \pi)\;

の増減表をつくり、x \rightarrow +0,\; \; x \rightarrow \pi-0\; のときの極限を調べよ。

解答

\displaystyle f'(x)=\frac{\sin x -x\cos x}{\sin^2 x} -\sin x

\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\sin x (1-\sin^2 x)-x\cos x}{\sin^2 x}

\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\cos x (\sin x\cos x -x)}{\sin^2 x}

\displaystyle \qquad \; \; =\frac{\cos x (\sin 2x -2x)}{2\sin^2 x}

ここで、0 \lt x \lt \pi\; のとき、\sin 2x \lt 2x\; だから

 f'(x)=0\; となるのは、\cos x=0\; より\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\;

\; \; \; x 0 \cdots \displaystyle \frac{\pi}{2} \cdots \pi
f'(x)   \; - \; 0 \; +  
f(x)   \searrow \displaystyle \frac{\pi}{2} \nearrow  

\displaystyle \lim_{x \to +0}\left( \frac{x}{\sin x} +\cos x \right) =\lim_{x \to +0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} +\lim_{x \to +0} \cos x =1+1=2

x=\pi-\theta \; とおくと、x \rightarrow \pi-0 \; のとき \theta \rightarrow +0 \; だから

\displaystyle \lim_{x \to \pi-0}\left( \frac{x}{\sin x} +\cos x \right) =\lim_{\theta \to +0} \left\{ \frac{\pi-\theta }{\sin (\pi-\theta )} +\cos (\pi-\theta ) \right\}

\displaystyle =\lim_{\theta \to +0} \left\{ \frac{\pi-\theta }{\sin \theta } -\cos \theta \right\}

\displaystyle =\lim_{\theta \to +0} \frac{\pi}{\sin \theta }-\lim_{\theta \to +0} \frac{\theta}{\sin \theta } -\lim_{\theta \to +0} \cos \theta =+\infty

 

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