高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第2問(2018東京大学入試)

         第 2 問

 数列\; a_1,\; a_2,\; \cdots \cdots \;

         \displaystyle a_n=\frac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_n }{n\; ! } \qquad (n=1,\; 2,\; \cdots \cdots \; )

で定める。

(1) \; \; n \geqq 2 \; とする。\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} \; を既約分数\displaystyle \; \frac{q_n}{p_n} \; として表したときの分母\; p_n \geqq 1 \; と分子\; q_n \; を求めよ。

(2) \; \; a_n \; が整数となる\; n \geqq 1 \; をすべて求めよ。

解答

(1) \; \; n \geqq 2 \; のとき、

\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} \; =\frac{\frac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_n }{n\; ! } }{\frac{{}_{2n-1} \mathrm{C}_{n-1} }{(n-1)\; ! } } =\frac{\frac{(2n+1)\; !}{(n+1)\; !\; n\; !\; n\; ! } }{\frac{(2n-1)\; !}{n\; !\; (n-1)\; !\; (n-1)\; ! } } =\frac{(2n+1)\; !\; n\; !\; (n-1)\; !\; (n-1)\; ! }{(2n-1)\; !\; (n+1)\; !\; n\; !\; n\; ! }=\frac{2n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}

ここで、\displaystyle p_n=\frac{n(n+1)}{2},\; \; q_n=2n+1\; とする。

n \geqq 2 \; \; n,\; n+1\; のいずれか一方は正の偶数だから、p_n\; は正の整数で\; p_n\geqq 1\; である。

また、2n+1\; \; n\; で割ると、商が\; 2\; で余りが\; 1\; だから、2n+1\; \; n\; の最大公約数は、2\; \; 1\; の最大公約数\; 1\; に等しい。

同様に、2n+1\; \; n+1\; で割ると、商が\; 2\; で余りが\; -1\; だから、2n+1\; \; n+1\; の最大公約数は、2\; \; -1\; の最大公約数\; 1\; に等しい。

よって、\displaystyle \frac{q_n}{p_n}\; は既約分数である。

以上より、\displaystyle p_n=\frac{n(n+1)}{2},\; \; q_n=2n+1\; である。

(2) \; \; n=1 \; のとき、\displaystyle a_1=\frac{{}_{3} \mathrm{C}_1 }{1\; ! } =3

n \geqq 2 \; のとき、(1)より\displaystyle \; a_n=a_{n-1}\times \frac{q_n}{p_n}\; だから

n=2 \; のとき、\displaystyle a_2=a_1\times \frac{q_2}{p_2}=3\times \frac{5}{\frac{2\times 3}{2}}=5

n \geqq 3 \; のとき、\displaystyle a_n=a_2\times \frac{q_3}{p_3}\times \frac{q_4}{p_4}\times \cdots \cdots \times \frac{q_n}{p_n}

ここで分子の積を考えると、a_2\times q_3\times q_4\times \cdots \cdots \times q_n=5\times 7\times 9\times \cdots \cdots \times (2n+1)

次に分母の積は、\displaystyle p_3\times p_4\times \cdots \cdots \times p_n=\frac{3\times 4}{2}\times \frac{4\times 5}{2}\times \cdots \cdots \times \frac{n(n+1)}{2}

このことより、分子は奇数、分母は偶数だから、a_nの分母は\; 1\; とならない。

したがって、 a_n\; が整数となるのは、n=1,\; 2\; だけである。

 

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