数学(理系)の第3問(2018東京大学入試)
第 問
放物線のうち
をみたす部分を
とする。座標平面上の原点
と点
を考える。
を実数とする。点
が
上を動き、点
が線分
上を動くとき、
をみたす点が動く領域の面積を
とする。
および
を求めよ。
解答
点の
座標を
(定数)とすると、点
が
上を動くから
とすると、点
の表す点が
だから、点
の表す点は
から
だから、
で、
の実数だから
よって、点は
上にある。
次に、点の
座標を
とすると、点
が線分
上を動くから
とすると、点
の表す点が
だから、点
の表す点は
だから、点
の表す点は
ここで、のとき、点
の表す点を
とすると
で、
から
だから、
よって、のときの点
は
上にある。
が
の範囲で動くとき、点
は線分
上を動く。
したがって、が
の範囲で動いてできる
は、
が
の範囲で動くとき、
に平行移動する。この平行移動によってできる領域が点
が動く領域となる。また、この領域は、直線
について対称である。
つまり
のとき
この領域は直線と
軸の間の
の部分と、放物線
と
軸の間の
の部分の和から、放物線
と
軸の間の
の部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)
つまり
のとき
この領域は直線と
軸の間の
の部分から、放物線
と
軸の間の
の部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)
以上より
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