高校数学の解き方

高校数学の教科書や大学入試の問題を解いてみます。簡潔で分かりやすい解答で、模範解答に近いものを目指します。

数学(理系)の第3問(2018東京大学入試)

         第 3 問

 放物線\; y=x^2 \; のうち\; -1 \leqq x \leqq 1\; をみたす部分を\; C \; とする。座標平面上の原\; \mathrm{O} \; と点\; \mathrm{A} (1,\; 0)\; を考える。\; k \gt 0 \; を実数とする。点\; \mathrm{P} \; \; C \; 上を動き、点\; \mathrm{Q} \; が線分\; \mathrm{OA} \; 上を動くとき、

         \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =\frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} +k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}}

をみたす点\; \mathrm{R} \; が動く領域の面積を\; S(k) \; とする。

 \; S(k) \; および\displaystyle \; \lim_{k \to +0} S(k) \; ,\; \lim_{k \to \infty} S(k) \; を求めよ。

解答

\; \mathrm{P} \; \; x \; 座標を\; s \; (定数)とすると、点\; \mathrm{P} \; \; C \; 上を動くから \; -1 \leqq s \leqq 1\;

\displaystyle \frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} =\overrightarrow{\mathrm{OP'}} \; とすると、点\; \mathrm{P} \; の表す点が\; (s,\; s^2)\; だから、点\; \mathrm{P'} \; の表す点は\displaystyle \; \left( \frac{s}{k},\; \frac{s^2}{k} \right)\;

\displaystyle x=\frac{s}{k},\; y=\frac{s^2}{k} \; から\; \displaystyle x^2=\frac{y}{k} \; だから、\displaystyle \; y=kx^2 \; で、\; k \gt 0 \; の実数だから  \displaystyle -\frac{1}{k} \leqq \frac{s}{k} \leqq \frac{1}{k} \;

よって、点\; \mathrm{P'} \; \displaystyle \; y=kx^2 \; \; \left(-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{1}{k} \right)\; 上にある。

 


次に、点\; \mathrm{Q} \; \; x \; 座標を\; t \; とすると、点\; \mathrm{Q} \; が線分\; \mathrm{OA} \; 上を動くから \; 0 \leqq t \leqq 1\;

k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\overrightarrow{\mathrm{OQ'}} \; とすると、点\; \mathrm{Q} \; の表す点が\; (t,\; 0)\; だから、点\; \mathrm{Q'} \; の表す点は\; ( kt,\; 0) \;

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =\frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} +k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\overrightarrow{\mathrm{OP'}} +\overrightarrow{\mathrm{OQ'}} だから、点\; \mathrm{R} \; の表す点は \displaystyle \; \left( \frac{s}{k}+kt,\; \frac{s^2}{k} \right)

ここで、 t=1\; のとき、点\; \mathrm{R} \; の表す点を\; \mathrm{R'} \; とすると\displaystyle \; \mathrm{R'} \left( \frac{s}{k}+k,\; \frac{s^2}{k} \right)\; で、

\displaystyle x=\frac{s}{k} +k,\; y=\frac{s^2}{k} \; から\; \displaystyle (x-k)^2=\frac{y}{k} \; だから、\displaystyle \; y=k(x-k)^2

よって、 t=1\; のときの点\; \mathrm{R'} \; \displaystyle \; y=k(x-k)^2 \; \; \left(k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq k+\frac{1}{k} \right)\; 上にある。

 


 t\; \; 0 \leqq t \leqq 1\; の範囲で動くとき、点\; \mathrm{R} \; は線分\; \mathrm{P'R'} \; 上を動く。

したがって、 s\; \; -1 \leqq s \leqq 1\; の範囲で動いてできる\displaystyle \; y=kx^2 \; \; \left(-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{1}{k} \right)\; は、 t\; \; 0 \leqq t \leqq 1\; の範囲で動くとき、\displaystyle \; y=k(x-k)^2 \; \; \left(k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq k+\frac{1}{k} \right)\; に平行移動する。この平行移動によってできる領域が点\; \mathrm{R} \; が動く領域となる。また、この領域は、直線\displaystyle \; x=\frac{k}{2} \; について対称である。

 


\displaystyle \frac{k}{2} \lt \frac{1}{k} \; つまり\; 0 \lt k \lt \sqrt{2} \; のとき

この領域は直線\displaystyle \; y=\frac{1}{k} \; \; x \; 軸の間の\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq k-\frac{1}{k} \; の部分と、放物線\; y=k(x-k)^2 \; \; x \; 軸の間の\displaystyle \; k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{k}{2} \; の部分の和から、放物線\; y=kx^2 \; \; x \; 軸の間の\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq 0 \; の部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)

\displaystyle S(k)=2\left( \frac{1}{k} \left\{ \bigl( k-\frac{1}{k} \Bigr)-\Bigl( -\frac{1}{k} \Bigr) \right\}+ \int_{k-\frac{1}{k} }^{\frac{k}{2} } k(x-k)^2 dx -\int_{-\frac{1}{k} }^{0 } kx^2 dx \right)

\displaystyle   =2 \left\{ 1+\Bigl[\frac{1}{3} k(x-k)^3 \Bigr]_{k-\frac{1}{k} }^{\frac{k}{2} } -\Bigl[\frac{1}{3} kx^3 \Bigr]_{-\frac{1}{k} }^{0 } \right\}

\displaystyle   =2 \left\{ 1-\frac{k^4}{24} +\frac{1}{3k^2} -\frac{1}{3k^2} \right\} =2-\frac{k^4}{12}

 


\displaystyle \frac{1}{k} \leqq \frac{k}{2} \; つまり\; \sqrt{2} \leqq k \; のとき

この領域は直線\displaystyle \; y=\frac{1}{k} \; \; x \; 軸の間の\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{k}{2} \; の部分から、放物線\; y=kx^2 \; \; x \; 軸の間の\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq 0 \; の部分を引いたものの2倍となる。(図は省略)

\displaystyle S(k)=2\left( \frac{1}{k} \left\{ \frac{k}{2} -\Bigl( -\frac{1}{k} \Bigr) \right\} -\int_{-\frac{1}{k} }^{0 } kx^2 dx \right)

\displaystyle   =2 \left\{ \frac{1}{2} +\frac{1}{k^2} -\Bigl[\frac{1}{3} kx^3 \Bigr]_{-\frac{1}{k} }^{0 } \right\}

\displaystyle   =2 \left\{ \frac{1}{2} +\frac{1}{k^2} -\frac{1}{3k^2} \right\} =1+\frac{4}{3k^2}

 

以上より \displaystyle \; S(k)= \genfrac{\{}{.}{0pt}{0}{\; 2-\cfrac{k^4}{12} \; \; (0 \lt k \lt \sqrt{2}) }{\; \; 1+\cfrac{4}{3k^2}\; \; (\sqrt{2} \leqq k) \quad \; \; }

    \displaystyle \lim_{k \to +0} S(k)= \lim_{k \to +0} \left( 2-\cfrac{k^4}{12} \right) =2

    \displaystyle \lim_{k \to \infty } S(k)= \lim_{k \to \infty } \left( 1+\cfrac{4}{3k^2} \right) =1

 

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