数学(理系)の第3問（2018東京大学入試）

　　　　　　　　　第　 $3$ 　問

　放物線 $\; y=x^2 \;$ のうち $\; -1 \leqq x \leqq 1\;$ をみたす部分を $\; C \;$ とする。座標平面上の原点 $\; \mathrm{O} \;$ と点 $\; \mathrm{A} (1,\; 0)\;$ を考える。 $\; k \gt 0 \;$ を実数とする。点 $\; \mathrm{P} \;$ が $\; C \;$ 上を動き、点 $\; \mathrm{Q} \;$ が線分 $\; \mathrm{OA} \;$ 上を動くとき、

　　　　　　　　　 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =\frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} +k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

をみたす点 $\; \mathrm{R} \;$ が動く領域の面積を $\; S(k) \;$ とする。

　 $\; S(k) \;$ および $\displaystyle \; \lim_{k \to +0} S(k) \; ,\; \lim_{k \to \infty} S(k) \;$ を求めよ。

解答

点 $\; \mathrm{P} \;$ の $\; x \;$ 座標を $\; s \;$ （定数）とすると、点 $\; \mathrm{P} \;$ が $\; C \;$ 上を動くから　 $\; -1 \leqq s \leqq 1\;$

$\displaystyle \frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} =\overrightarrow{\mathrm{OP'}} \;$ とすると、点 $\; \mathrm{P} \;$ の表す点が $\; (s,\; s^2)\;$ だから、点 $\; \mathrm{P'} \;$ の表す点は $\displaystyle \; \left( \frac{s}{k},\; \frac{s^2}{k} \right)\;$

$\displaystyle x=\frac{s}{k},\; y=\frac{s^2}{k} \;$ から $\; \displaystyle x^2=\frac{y}{k} \;$ だから、 $\displaystyle \; y=kx^2 \;$ で、 $\; k \gt 0 \;$ の実数だから　 $\displaystyle -\frac{1}{k} \leqq \frac{s}{k} \leqq \frac{1}{k} \;$

よって、点 $\; \mathrm{P'} \;$ は $\displaystyle \; y=kx^2 \; \; \left(-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{1}{k} \right)\;$ 上にある。

次に、点 $\; \mathrm{Q} \;$ の $\; x \;$ 座標を $\; t \;$ とすると、点 $\; \mathrm{Q} \;$ が線分 $\; \mathrm{OA} \;$ 上を動くから　 $\; 0 \leqq t \leqq 1\;$

$k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\overrightarrow{\mathrm{OQ'}} \;$ とすると、点 $\; \mathrm{Q} \;$ の表す点が $\; (t,\; 0)\;$ だから、点 $\; \mathrm{Q'} \;$ の表す点は $\; ( kt,\; 0) \;$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} =\frac{1}{k} \; \overrightarrow{\mathrm{OP}} +k \; \overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\overrightarrow{\mathrm{OP'}} +\overrightarrow{\mathrm{OQ'}}$ だから、点 $\; \mathrm{R} \;$ の表す点は　 $\displaystyle \; \left( \frac{s}{k}+kt,\; \frac{s^2}{k} \right)$

ここで、 $t=1\;$ のとき、点 $\; \mathrm{R} \;$ の表す点を $\; \mathrm{R'} \;$ とすると $\displaystyle \; \mathrm{R'} \left( \frac{s}{k}+k,\; \frac{s^2}{k} \right)\;$ で、

$\displaystyle x=\frac{s}{k} +k,\; y=\frac{s^2}{k} \;$ から $\; \displaystyle (x-k)^2=\frac{y}{k} \;$ だから、 $\displaystyle \; y=k(x-k)^2$

よって、 $t=1\;$ のときの点 $\; \mathrm{R'} \;$ は $\displaystyle \; y=k(x-k)^2 \; \; \left(k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq k+\frac{1}{k} \right)\;$ 上にある。

$t\;$ が $\; 0 \leqq t \leqq 1\;$ の範囲で動くとき、点 $\; \mathrm{R} \;$ は線分 $\; \mathrm{P'R'} \;$ 上を動く。

したがって、 $s\;$ が $\; -1 \leqq s \leqq 1\;$ の範囲で動いてできる $\displaystyle \; y=kx^2 \; \; \left(-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{1}{k} \right)\;$ は、 $t\;$ が $\; 0 \leqq t \leqq 1\;$ の範囲で動くとき、 $\displaystyle \; y=k(x-k)^2 \; \; \left(k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq k+\frac{1}{k} \right)\;$ に平行移動する。この平行移動によってできる領域が点 $\; \mathrm{R} \;$ が動く領域となる。また、この領域は、直線 $\displaystyle \; x=\frac{k}{2} \;$ について対称である。

$\displaystyle \frac{k}{2} \lt \frac{1}{k} \;$ つまり $\; 0 \lt k \lt \sqrt{2} \;$ のとき

この領域は直線 $\displaystyle \; y=\frac{1}{k} \;$ と $\; x \;$ 軸の間の $\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq k-\frac{1}{k} \;$ の部分と、放物線 $\; y=k(x-k)^2 \;$ と $\; x \;$ 軸の間の $\displaystyle \; k-\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{k}{2} \;$ の部分の和から、放物線 $\; y=kx^2 \;$ と $\; x \;$ 軸の間の $\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq 0 \;$ の部分を引いたものの2倍となる。（図は省略）

$\displaystyle S(k)=2\left( \frac{1}{k} \left\{ \bigl( k-\frac{1}{k} \Bigr)-\Bigl( -\frac{1}{k} \Bigr) \right\}+ \int_{k-\frac{1}{k} }^{\frac{k}{2} } k(x-k)^2 dx -\int_{-\frac{1}{k} }^{0 } kx^2 dx \right)$

$\displaystyle 　　=2 \left\{ 1+\Bigl[\frac{1}{3} k(x-k)^3 \Bigr]_{k-\frac{1}{k} }^{\frac{k}{2} } -\Bigl[\frac{1}{3} kx^3 \Bigr]_{-\frac{1}{k} }^{0 } \right\}$

$\displaystyle 　　=2 \left\{ 1-\frac{k^4}{24} +\frac{1}{3k^2} -\frac{1}{3k^2} \right\} =2-\frac{k^4}{12}$

$\displaystyle \frac{1}{k} \leqq \frac{k}{2} \;$ つまり $\; \sqrt{2} \leqq k \;$ のとき

この領域は直線 $\displaystyle \; y=\frac{1}{k} \;$ と $\; x \;$ 軸の間の $\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq \frac{k}{2} \;$ の部分から、放物線 $\; y=kx^2 \;$ と $\; x \;$ 軸の間の $\displaystyle \; -\frac{1}{k} \leqq x \leqq 0 \;$ の部分を引いたものの2倍となる。（図は省略）

$\displaystyle S(k)=2\left( \frac{1}{k} \left\{ \frac{k}{2} -\Bigl( -\frac{1}{k} \Bigr) \right\} -\int_{-\frac{1}{k} }^{0 } kx^2 dx \right)$

$\displaystyle 　　=2 \left\{ \frac{1}{2} +\frac{1}{k^2} -\Bigl[\frac{1}{3} kx^3 \Bigr]_{-\frac{1}{k} }^{0 } \right\}$

$\displaystyle 　　=2 \left\{ \frac{1}{2} +\frac{1}{k^2} -\frac{1}{3k^2} \right\} =1+\frac{4}{3k^2}$

以上より　 $\displaystyle \; S(k)= \genfrac{\{}{.}{0pt}{0}{\; 2-\cfrac{k^4}{12} \; \; (0 \lt k \lt \sqrt{2}) }{\; \; 1+\cfrac{4}{3k^2}\; \; (\sqrt{2} \leqq k) \quad \; \; }$